暑假集训CSP提高模拟4
A.White and Black
暴力的 \(O(nq)\) 做法比较显然，因为对于根节点来说，只有它自己可以改变自己的颜色，因此如果它是黑色则一定需要更改自己，同时把更改传下去（应该没有那种每次真的更改所有节点然后写 \(O(nqn^{n})\) 的吧），同理，假如根节点更改结束，次级节点就同理了，这是一个连锁的反应，因此搜一遍下来就行了.
这道题的优化点主要是在减少白点的枚举次数上，注意到数据范围中给出的黑点数量非常少，因此我们考虑将枚举白点变成枚举子节点总数减去黑点总数，这样就能把复杂度降下来.
这样还是不好做，考虑预处理出每个节点的儿子总数，如果节点变黑，则其每个儿子对它作 \(1\) 的贡献，如果儿子也是黑色的，说明该儿子不再对该父节点做贡献，临时减掉即可.
这道题写了部分分但是没拿到，因为题目里只说了是菊花，没说根节点是谁，判断的时候漏判了.
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,q;
int sons[200001],fa[200001],black[200001],isblack[200001];
int main(){
scanf("%d %d",&n,&q);
for(int i=2;i<=n;++i){
scanf("%d",&fa[i]);
sons[fa[i]]++;
}
for(int i=1;i<=q;++i){
int x;
scanf("%d",&x);
int ans=0;
for(int j=1;j<=x;++j){
scanf("%d",&black[j]);
isblack[black[j]]=true;
}
for(int j=1;j<=x;++j){
ans+=sons[black[j]];
}
for(int j=1;j<=x;++j){
if(!isblack[fa[black[j]]]) ans++;
else ans--;
}
printf("%d\n",ans);
for(int j=1;j<=x;++j){
isblack[black[j]]=false;
}
}
}
B.White and White
还是比较显然的 \(O(n^2 k)\) 暴力，对于此题显然可以设计 \(f_{i,j}\) 表示选到第 \(j\) 位，上次划分在 \(i\) 位置的最小值，可以得到：
发现这个 \(\mod p\) 非常恶心，阻止我们进一步使用优先队列进行优化.
因此考虑从这个 \(\mod p\) 入手，因为我们每次进行取模都只是剪掉了一个 \(kp\ (k\in Z)\)，即 \(f_{i,j}\equiv \sum^{x}_{1\le x\le j} a_{x}\pmod p\)
在我们进行状态转移时（即上式），对于两个 \(k=a,b\)，将同余式传递，有
假设当 \(f_{i-1,a}+\sum^{x}_{a\le x\le j}a_{x}\lt f_{i-1,b}+\sum^{x}_{b\le x\le j}b_{x}\) 时，有 \(f_{i-1,a}\lt f_{i-1,b}\)，此时移项有：
刚才我们知道
这两个方程联立无解，因此假设不成立，我们得到：
通过此式判断最优决策点即可
此外本题卡空间，需要用滚动数组进行优化
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k,p;
const int mod=1e9+7,inf=0x3f3f3f3f;
int sum[500001];
int f[500001][101];
int g[2][101]; //维护决策最小值
int main(){
cin>>n>>k>>p;
memset(f,0x3f,sizeof f);
for(int i=1;i<=n;++i){
int x;cin>>x;
sum[i]=(sum[i-1]+x)%p;
f[0][0]=0;
}
for(int i=1;i<=n;++i){
for(int j=1;j<=k;++j){
f[i][j]=f[g[i&1][j-1]][j-1]+((sum[i]-sum[g[i&1][j-1]])%p+p)%p;
}
for(int j=0;j<=k;++j){
if(f[i][j]<f[g[i&1][j]][j]) g[!(i&1)][j]=i;
else g[!(i&1)][j]=g[i&1][j];
}
}
cout<<f[n][k]<<endl;
}
UPD： 刚刚发现其实决策数组只需要开一维就行了
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k,p;
const int mod=1e9+7,inf=0x3f3f3f3f;
int sum[500001];
int f[500001][101];
int g[101];
int main(){
cin>>n>>k>>p;
memset(f,0x3f,sizeof f);
for(int i=1;i<=n;++i){
int x;cin>>x;
sum[i]=(sum[i-1]+x)%p;
f[0][0]=0;
}
for(int i=1;i<=n;++i){
for(int j=1;j<=k;++j){
f[i][j]=f[g[j-1]][j-1]+((sum[i]-sum[g[j-1]])%p+p)%p;
}
for(int j=0;j<=k;++j){
if(f[i][j]<f[g[j]][j]) g[j]=i;
}
}
cout<<f[n][k]<<endl;
}
C.Black and Black
显然我们首先随便构造一组，只需要满足单调递增性质即可.
注意到，假如此时 \(ans\gt 0\)，我们可以寻找一个位置 \(j\) 满足 \(\sum^{i}_{1\le i\le j}a_{i}=1\)，这样的话，我们就可以对区间 \([1,j]\) 中的每个元素都减去 \(ans\)，这样结果就会变为 \(ans-\sum^{i}_{1\le i\le j}(a_{i}\times ans)=0\)，同时不会改变我们构造的单调递减的性质，或者，我们也可以选择一个位置 \(j\) 满足 \(\sum^{i}_{j\le i\le n}a_{i}=-1\)，证明同理.
对于 \(ans\lt 0\)，只需要选择 \(j\) 满足 \(\sum^{i}_{1\le i\le j}a_{i}=-1\) 或 \(\sum^{i}_{j\le i\le n}a_{i}=1\) 即可.
若不存在上述情况，即为无解.
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n;
int a[200001],b[200001];
int foresum,backsum,fore,back;
void randcreate(){
for(int i=1;i<=n;++i){
b[i]=i;
}
}
int cal(){
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
ans+=a[i]*b[i];
// cout<<a[i]<<" * "<<b[i]<<endl;
}
// cout<<ans<<endl;
return ans;
}
signed main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;++i){
cin>>a[i];
}
randcreate();
int res=cal();
if(res==0){
cout<<"Yes"<<endl;
for(int i=1;i<=n;++i){
cout<<b[i]<<" ";
}
cout<<endl;
return 0;
}
else if(res>0){
for(fore=1;fore<=n;++fore){
foresum+=a[fore];
if(foresum>0) break;
}
for(back=n;back>=1;--back){
backsum+=a[back];
if(backsum<0) break;
}
// cout<<fore<<" : "<<back<<endl;
if(fore!=n+1) for(int i=1;i<=fore;++i) b[i]-=res;
else if(back!=0) for(int i=back;i<=n;++i) b[i]+=res;
else{
cout<<"No"<<endl;
return 0;
}
}
else{
for(fore=1;fore<=n;++fore){
foresum+=a[fore];
if(foresum<0) break;
}
for(back=n;back>=1;--back){
backsum+=a[back];
if(backsum>0) break;
}
// cout<<fore<<" : "<<back<<endl;
if(fore!=n+1) for(int i=1;i<=fore;++i) b[i]+=res;
else if(back!=0) for(int i=back;i<=n;++i) b[i]-=res;
else{
cout<<"No"<<endl;
return 0;
}
}
cout<<"Yes"<<endl;
for(int i=1;i<=n;++i){
cout<<b[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
D.Black and White
最暴力的做法是单次 \(n^{2}\) 枚举点对求距离最大值. \(O(qn^{2}\log n)\)
比较暴力的显然是直接单次两遍 DFS 求树的直径. \(O(qn^{2})\)
直接说正解，考虑到根据原树的 DFS 序将整棵树压缩成一个括号序列. \(O(q\log n)\)
注意到，自身封闭的括号序列一定是一颗完整的子树，因此，当我们需要求解 \(x,y\) 之间的距离时，应该考虑分别找到 \(x,y\) 的位置，然后提取出 \([pos_{x},pos_{y}]\) 之间的括号序列. 假如该序列中存在封闭的子括号序列，说明最短路径显然不会进入这颗子树（因为 \(x,y\) 均不在这个子树内，因此走进去是多余的），所以考虑消去路径上全部封闭的子括号序列，余下的括号个数即为路径长.
显然，这样的复杂度不够优秀，注意到区间括号序列是具有可合并性的，当我们合并两个括号序列的时候，根据上述所需，我们完全可以预先消去两个子区间内的全部封闭子括号序列，其次进行合并，再将新形成的括号序列继续与其他括号序列进行合并.
基于这样的思想，我们使用线段树来维护消除完毕的括号序列（即任意两点间距离，通过查询 \([l,r]\) 区间和即可获得 \(dis_{l,r}\)）.
显然我们需要维护的有：DFS 序，各点在 DFS 序列上的位置，线段树（存储每个区间的左括号数目，右括号数目（特别地，由于维护跨区间距离的需要，我们还需要维护该树的子树的括号情况），以及该区间左右端点间距离（即剩余括号数））.
此外还需要判 \(-1\) 和 \(0\)，记一个 \(cnt\) 即可.
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf=1e9;
int num,s[3000001],pos[1000001];
int n,m;
int cnt,tot;
bool c[100001];
vector<int>e[200001];
void dfs(int now,int fa){
s[++tot]=-1;
s[++tot]=now;
pos[now]=tot;
for(int i:e[now]){
if(i!=fa){
dfs(i,now);
}
}
s[++tot]=-2;
}
#define tol (id*2)
#define tor (id*2+1)
#define mid(l,r) mid=((l)+(r))/2
struct tree{
int a,b;
int l1,l2,r1,r2;
int dis;
}t[1200005];
void push(int id,int x){
t[id].a=t[id].b=0;
t[id].l1=t[id].l2=t[id].r1=t[id].r2=t[id].dis=-inf;
if(s[x]==-1){
t[id].b=1;
}
else if(s[x]==-2){
t[id].a=1;
}
else if(!c[s[x]]){
t[id].l1=t[id].r1=t[id].r2=t[id].l2=0;
}
}
void merge(int id){
if(t[tol].b>t[tor].a){
t[id].a=t[tol].a,t[id].b=t[tol].b-t[tor].a+t[tor].b;
}
else{
t[id].a=t[tol].a+t[tor].a-t[tol].b,t[id].b=t[tor].b;
}
t[id].l1=max({t[tol].l1,t[tor].l1+t[tol].a-t[tol].b,t[tor].l2+t[tol].a+t[tol].b});
t[id].l2=max(t[tol].l2,t[tor].l2-t[tol].a+t[tol].b);
t[id].r1=max({t[tor].r1,t[tol].r1-t[tor].a+t[tor].b,t[tol].r2+t[tor].a+t[tor].b});
t[id].r2=max(t[tor].r2,t[tol].r2+t[tor].a-t[tor].b);
t[id].dis=max({t[tol].r1+t[tor].l2,t[tol].r2+t[tor].l1,t[tol].dis,t[tor].dis});
}
void build(int id,int l,int r){
if(l==r){
push(id,l);
return;
}
int mid(l,r);
build(tol,l,mid);
build(tor,mid+1,r);
merge(id);
}
void modify(int id,int l,int r,int x){
if(l==r){
push(id,l);
return;
}
int mid(l,r);
if(x<=mid){
modify(tol,l,mid,x);
}
else{
modify(tor,mid+1,r,x);
}
merge(id);
}
int main(){
scanf("%d",&n);
cnt=n;
for(int i=1;i<=n-1;i++){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
e[x].push_back(y);
e[y].push_back(x);
}
dfs(1,0);
build(1,1,tot);
scanf("%d",&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
char op='\n';int x;
while(op!='G' and op!='C') op=getchar();
if(op=='C'){
scanf("%d",&x);
if(c[x]){
c[x]=0;
cnt++;
}
else{
c[x]=1;
cnt--;
}
modify(1,1,tot,pos[x]);
}
else if(cnt==0){
printf("-1\n");
}
else if(cnt==1){
printf("0\n");
}
else{
printf("%d\n",t[1].dis);
}
}
}
