积分

定义

\[\int_{a}^{b}f(x)dx \]

表示 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 内的图像与 \(x\) 轴围成封闭图形的面积（这样说是不严谨的，实际上还要包括 \(y=a,y=b\) ）.

如

\[\int_{0}^{3}2dx=2\times (3-0)=6 \]

表示函数 \(f(x)=2\) 与 \(y=0,y=3,x\) 轴围成的图形面积为 \(6\).

积分符号用来表示 “某段区间内连续不断的加和” 这样的概念，不一定非得是面积. 只不过面积是长乘宽，当宽无穷小时（即 \(dx\)），对应的长即为 \(f(x)\)，面积为 \(f(x)dx\).

基本定理

令 \(f(x)=\frac{d}{dx}g(x)\)，则

\[\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}\frac{d}{dx}g(x)dx=\int_{a}^{b}dg(x) \]

实际上，它告诉我们的是 “将 \(g(x)\) 在 \([a,b]\) 的微小变化加和”，即：

\[\int_{a}^{b}g'(x)dx=g(b)-g(a) \]

根据基本定理，我们要求一个函数 \(f(x)\) 的积分，重在知道一个 \(g(x)\)，使得 \(g'(x)=f(x)\)，因为对于任意合适的 \(g(x)\)，\([g(x)+c]'=f(x)\)，所以称 \(g(x)+c\) 为 \(f(x)\) 的不定积分，其中 \(c\in R\).

比如我们需要求出

\[\int_{a}^{b}x^{2}dx \]

首先我们需要知道 \(x^{2}\) 的最简单的不定积分应为 \(\frac{1}{3}x^{3}\)，因为 \((\frac{1}{3}x^{3})'=x^{2}\)，则，

\[\int_{a}^{b}x^{2}dx=g(b)-g(a)=\frac{1}{3}(b^{3}-a^{3}) \]

算术定理

1

\[\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx \]

2

\[\int_{a}^{b}[kf(x)]dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx \]

3

\[\int_{a}^{b}[f(x)g(x)]'dx=f(b)g(b)-f(a)g(a) \]

\[\int_{a}^{b}[f'(x)g(x)+f(x)g'(x)]dx=f(b)g(b)-f(a)g(a) \]

根据 1 有：

\[\int_{a}^{b}[f'(x)g(x)]+\int_{a}^{b}[f(x)g'(x)]dx=f(b)g(b)-f(a)g(a) \]

移项：

\[\int_{a}^{b}[f'(x)g(x)]=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_{a}^{b}[f(x)g'(x)]dx \]

换元法

\[d[F(u)]=d[F(\phi(x)]=f[\phi(x)]\phi'(x)dx\rightarrow \int f[\phi(x)]\phi'(x)dx = F[\phi(x)] + C = [\int f(u)du]_{u=\phi(x)} \]

\[\int f(x) dx = [\int f[\phi(t)]\phi'(t)dt]_{t = \phi^{-1}(x)} \]

逆基本定理

\[\frac{d}{dx}[\int_{a}^{x}f'(x)dx]=\frac{d}{dx}[\int_{a}^{x+dx}f'(x)dx-\int_{a}^{x}f'(x)dx]=f(x) \]