[C103] 斐波那契数列

(i,j)=gcd(i,j)

fi=fi1+fi2

fi=fi2×f1+fi1×f2

fi=fi1×f2+fi2×f1

fi=(fi3+fi2)×f2+fi2×f1

fi=fi3×f2+fi2×f3

fi=fik×fk1+Fik+1×fk

fn+m=fn1×fm+fn×fm+1

(f1,f2)=(f2,f3)=(fi,fi1)=(fifi1,fi1)=(fi2,fi1)=1

f(i,j)=(fi,fj)fjfi=ji

因为 f2=1,则 f22x+1(xZ),但 22x+1(xZ),故上述式子存在特例,且该特例唯一.

tot(i)i 的约数的个数,将 i 用唯一分解定理分解为

i=ipici

则有

tot(i)=(ci+1)

那么

tot(i×j)=ipici×jpjcj=tot(i)×tot(j)

tot(x)积性函数.

若质数 pi,则 minj[j(i×p)]=p,且 cpi=2

若质数 pi×p 的最小因子,不妨设

i=pcp×ipicpi

tot(i)=cp×icpi

i×p=pcp+1×ipicpi

tot(i×p)=(cp+1)×icpi

tot(i×p)=tot(i)cp×(cp+1)

所以我们引入 mintimes(i) 表示 i 的最小约数的 ci.

上述式子可以表示成

tot(i×p)=tot(i)mintimes(i)×(mintimes(i)+1)

上述推论对全部 ppi 均成立

sqrtot(i)i 的约数的平方和,与 tot(i) 类似,可得

sqrtot(x)=i j=0ci(pij)2

sqrtot(i×j)=i j=0ci(pij)2×i j=0ci(pij)2=sqrtot(i)×sqrtot(j)

所以 sqrtot(x) 也为积性函数

同理,不妨设

psum=j=0cpi(pj)2

sqrtot(i)=psum×i j=0ci(pij)2

sqrtot(i×p)=(p2×psum+1)×i j=0ci(pij)2

维护 expmin(i)=psum 即可.

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