[TK] Bulls And Cows S

合集 - 题解(24)

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形式化题意

在长度为 $n$ 的序列中放两种元素 $F$ 与 $M$，使得相邻的 $M$ 之间的距离不超过 $k$. 求方案数.

思路分析

考虑分特殊情况考虑.

特殊情况一 没有 $M$

方案一定成立，为 $1$.

再考虑剩下的情况，那么一定是有 $M$ 的了.

特殊情况二 $k=1$

这种情况其实就是需要 $M$ 不能相邻. 根据排列组合知识可以发现这是插空法. 首先在 $n$ 个元素中计算出 $F$ 有 $n-M$ 个，那么先将它们随机排布，会形成 $n-M+1$ 个空位，然后考虑将 $M$ 放进空位里，方案数为 $C_{n-M+1}^M$

通解分析

注意到特殊情况二十分好算，那么我们有办法将任意的 $k$ 都转化为这种情况吗. 实际上是可以的. 当 $k=k_1$ 时，可以得出任意相邻的 $M$ 之间的距离 $l_i$ 都满足 $l_i\ge k_1$. 那么我们将 $l_i$ 同时减少 $k_1-1$，不会影响最后的计算结果. 这其实是利用了捆绑 $F$ 组合的思想. 那么这道题的答案就十分明显了，为

$$ans=1+\sum _i{C}_{n-(i-1)(k-1)-i+1}^i$$

代码实现

int main(){
	long long n,k,ans=0;
	cin>>n>>k;
	for(long long i=1;2*i<=n+2;++i){
		ans+=lucas(n-i+1,i);
		ans%=p;
		n-=k-1;
	}
	cout<<ans+1;
}