[TK] Terrible Prime

合集 - 题解(24)

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题目链接 T415418

这道题严格的时间限制比较令人头疼，似乎需要一些高级的算法，但实际上是，想要用点基础知识通过这道题需要两种算法：费马小定理 (见下函数Miller_rabin) 用于subtask1,另一种算法 (见下函数prim) 用于subtask2.两个subtask的范围限制给了我们这样一个机会.

关于费马小定理，参见 Oi-wiki .

string s[2]={"No","Yes"};
typedef long long ll;
ll m;
#define fo(x,y,z) for(int (x)=(y);(x)<=(z);(x)++) 
#define fu(x,y,z) for(int (x)=(y);(x)>=(z);(x)--) 
typedef pair<int,int> pii;
const int zhenli=0;
const int maxx=0x7f7f;
const int N=3000005;
int n;
ll a[N],ma=-1,b[N];
inline ll quick_mul(ll a,ll b,ll m) //快速乘 
{
    ll ans = 0;
    a %= m;
    b %= m;
    while (b) {
        if (b & 1) {
            ans = (ans + a) % m;
        }
        a = (a + a) % m;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

ll quick_pow(ll a,ll b,ll m) //快速幂 
{
    ll res=1;
    a%=m;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=quick_mul(res,a,m);
        a=quick_mul(a,a,m);
        b>>=1;
    }
    return res;
}
bool Miller_rabin(ll n,ll num)
{
    if(n==2||n==3) return true;
    if(n%2==0||n==1) return false;
    srand((unsigned)time(NULL)); //为接下来a的随机取值用 
    ll d=n-1;
    int s=0;
    while(!(d&1)) s++,d>>=1;//若d的二进制的最后一位不是1，则说明d还是偶数 
    for(int i=0;i<num;i++)
    {
        ll a=rand()%(n-2)+2;//2~n-1;
        ll x=quick_pow(a,d,n), y=0;
        for(int j=0;j<s;j++)//一共平方s次 
        {
            y=quick_mul(x,x,n);//先平方 
            if(y==1&&x!=1&&x!=(n-1)) return false;//验证二次探测原理 
            x=y;
        }
        if(y!=1) return false;//不满足费马小定理，那就肯定不是质数
    }
    return true;
}
bool prim(ll num)
{
	if(num==1)return 0;
	if(num==2||num==3)return 1;   
   	if(num%6!=1&&num%6!=5)return 0;
   	long long tmp=sqrt(num);
   	for(long long i=6;i<=tmp+1;i+=6){
    		if(num%(i-1)==0||num%(i+1)==0)return 0;
	}
   return 1;
}
int main(){
	ll n;
	cin>>n;
	if(n<=900){
		fo(i,1,n)
		{
			scanf("%lld",&a[i]);
			ma=max(ma,a[i]);
			b[i]=10;
		}
		fo(i,1,n)
		{
			if(Miller_rabin(a[i],b[i]))cout<<"Yes";
			else cout<<"No"; 
			if(i!=n)cout<<endl; 
		}
		return 0;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&m);
		cout<<s[prim(m)]<<endl;
	}
	return 0;
}