[OI] 树上背包问题

树上背包问题的使用场景

当一个问题满足树的结构，而且需要让我们选取某些边或某些点，使权值取到最值。这样的问题是树上背包问题.

树上背包模板

树上背包问题使用dfs.
一般来说，树上背包问题的基本框架如下图：

void dfs(int s){
	for(i:遍历s的全部子节点){
		dfs(i);
		for(j:背包容量倒序遍历(01背包问题时)){
			for(k:0~j-1){
				f[s][j]=max/min(f[s][j],f[i.to][k]+f[s][j-k-v[root]]+i.w);
			}
		}
	}
}

可能有些难懂，下面来做些解释：

• 定义 \(f[i][j]\) 为以 \(i\) 为根节点，背包容量为 \(j\) 时的最大权值.
• 树上背包问题，依照背包问题的遍历方法，通常采用三层遍历，其中：第一层遍历全部子节点，第二层遍历背包容量.
• 树上背包问题中，一棵树的全部容量要分为根结点占用的容量和各个子树占用的容量，因此，第三层遍历当前子树占用当前树的容量.
• 注意第三层循环中 \(k\) 最小是 \(0\) ,即一个都不分配，而最大值只能到 \(j-v[root]\) ，因为还要留一个分配给根节点.
• 已知第三层遍历占用了 \(k\) 容量，权值在之前的dfs中已求出，应为 \(f[i.to][k]\) (这里 \(i.to\) 指子节点的根节点). 而根节点占用的容量为 \(v[root]\), 权值为 \(i.w\). 所以，剩下没被占用的总容量为 \(j-k-v[root]\) ,其权值我们其实可以这样表示: \(f[s][j-k-v[root]]\) (因为该值事先已求出)，因此，得到状态转移方程为：

\[f[s][j]=f[i.to][k]+f[s][j-k-v[root]]+i.w \]

• 树上背包问题的边界条件是非常需要注意的，有时限制边界条件可以节省时间，或者避免越界.
• 建树时需要注意，该树需要是从父亲指向儿子的，否则无法快速找到子树.
• 在无法判断父子关系时，树也可以建成一个相同形状的无向图. 在遍历时加入一个记录该次遍历父节点的参数 \(last\) 并添加 if(i.to==last) continue; 一句即可.

例题代码： 选课