[TK] 矩阵取数游戏<简单版> hzoi-tg-906-2

合集 - 题解(24)

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收起

本题是一个坐标DP问题

状态转移

首先我们注意到，一个状态只能由两种前置状态得到：取左边的数和取右边的数，因此我们以状态为阶段定义如下：

$f[a][b][c]$ 为状态转移数组，其中 $a$ 为已取走的数目，区间 $[b,c]$ 为未取走的所有数组成的区间（能够发现，未取走的所有数组成的区间一定是连贯的，所以我们这样定义）,数组表示该状态下的最大得分.

根据上述推论，可以得出状态转移方程：

$$f[k][i][j]=max\{\begin{array}{l}f[k-1][i][j+1]+cost[j+1]\\ f[k-1][i-1][j]+cost[i-1]\end{array}$$

其中上面的转移式是取右边的数，下面的转移式是取左边的数. $cost[i]$ 表示拿走这个数的得分.

细节处理

1.结果输出

我们可以发现，在拿走 $n-1$ 个物品后，区间内一定会剩余一个，也就是此时状态转移方程为 $f[n-1][i][i]$ 的形式.
我们可以直接找出所有 $f[n-1][i][i]+cost[i]$ 中的最大值作为答案.

2.计算 $cost[i]$

不难发现，本题中 $cost[i]=s[i]\times 2^k$. 有人会想到快速幂，但是题目最大只有 $k=30$，所以还是打表更有性价比.我们直接在开头预处理全部数值存进数组就行.

代码实现

假如你是来抄代码的 建议你动点脑子理解一下上面的东西 这里只给出伪代码

	for(int i=1;i<=n;++i){        //预处理
		base[i]=base[i-1]*2;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		cin>>y[i];
	}
	for(k:1~n-1){
		for(i:1~n){
			for(j:1~n){
				f[k][i][j]=max(f[k-1][i][j+1]+y[j+1]*base[k],f[k-1][i-1][j]+y[i-1]*base[k]);
			}
		}
	}
	for(i:1~n){
		ans=max(f[n-1][i][i]+y[i]*base[n],ans);
	}
}
//别忘了开long long