函数连续、可导、可微之间的关系(精简)
- 函数连续与可导之间的关系:多元函数连续与可导之间互相无关。也就是说,函数连续不一定可导,函数可导不一定连续。这是由于多元函数趋近某个点的方向任意性,导致某个函数不连续但却在这一点可导,或者某个函数连续但在某个方向上没有导数。
- 函数连续与可微之间的关系:函数可微一定连续,这是由于全增量的性质,当自变量趋近于某点时,全增量也趋近于零。但是函数连续不一定可微,这是由于函数连续与函数可导无关,而函数可微一定要求函数的偏导数存在。
- 函数可微与可导之间的关系:函数可微一定可导,这是由于全微分可以表示为偏导数的线性组合。但是函数可导不一定可微,这是由于二元函数方向性的存在,导致偏导数存在但全增量不能表示为偏导数的线性组合。
- 函数偏导数连续与可微之间的关系:函数某点的偏导数连续,则必然可微,这是由于全增量可以用泰勒公式展开,并利用偏导数的连续性得到。但是函数可微不一定偏导数连续,这是由于函数可微只能推出函数在该点的偏导数存在,并不能推出该点的偏导数连续。
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