P2051中国象棋

题目链接：戳这里

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题目大意：

$\mathrm{①}$ 给你一个 $n\ast m$ 的棋盘

$\mathrm{②}$ 问你有多少种放炮的方案使得炮不会相互攻击

$\mathrm{③}$ 炮的规则和中国象棋一样

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前置知识：

$\mathrm{①}$ 首先你需要知道炮的规则是什么 (不会请自行百度)

$\mathrm{②}$ 你还需要掌握一些组合数学的东西

比如说基本的排列组合公式和加法乘法原理

$\mathrm{③}$ 你还要有一颗能看出这是一个DP的大脑

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开始正文：

首先要找到本题的状态：

本题只有一个限制条件：那就是每一个 行 和 列 最多放 两个 炮

那就可以考虑状态要把一个 行 或 列 放了 多少个 炮 考虑进去

那么状态很简单就能出来了:

$f[i][j][k]$ 表示当前在第 $i$ 行，有 $j$ 列放了一个炮，有 $k$ 列放了两个炮的方案数
(很简单得就把炮的限制考虑了进去)

下面考虑转移：

$\mathrm{①}$ 首先这一列可以不放，那么直接由上一列转移过来

$f[i][j][k]=f[i-1][j][k]$

$\mathrm{②}$ 也可以放一个

放在有一个棋子的列上:

$f[i][j][k]+=f[i-1][j+1][k-1]\ast (j+1)$

放在没有棋子的列上：

$f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k]\ast (m-(j-1)-k)$

解释：

放在一个棋子的列:

我们在某一个有一个棋子列放置棋子,会使这一列变为有两个棋子

即我们要得到 $f[i][j][k]$ 需要在 $j+1$ 个有一个棋子的列放置棋子,变为 $j$ 个有一个棋子的列

而我们又会得到一个新的有两个棋子的列.因此我们之前必须有 $k-1$ 个有两个棋子的列

而我们又可以在 $j+1$ 中的任何一列放置这一个棋子

因此我们要 $\ast (j+1)$

放在没有棋子的列:

在一个没有棋子的列放置棋子,我们会得到一个新的有一个棋子的列

即我们要从 $j-1$ 得到 $j$

又因为我在空列中的任何一列放置这个棋子.

所以要 $\ast (m-(j-1)-k)$

$\mathrm{③}$ 也可以放两个

一个放在一个炮的列，一个放在没有炮的列：

$f[i][j][k]+=f[i-1][j][k-1]\ast j\ast (m-(j-1)-k)$

两个都放在没有放过炮的地方：

$f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]\ast C(m-(j-2)-k)$

两个都放在有一个炮的地方：

$f[i][j][k]+=f[i-1][j+2][k-2]\ast C(j+2)$

注：以上的 $C(x)$ 指的是 C(2, x)， 一下同理;

绝对不是我不会打

解释：

如果一个放在一个跑的列，一个放在没放炮的列:

那么放两个炮的列的数量就会加一，放一个炮的数量也会增加一

放在一个炮的地方有 $j$ 种可能, 放在没有炮的地方有 $m-(j-1)-k$ 种可能

所以需要 $ j(m - (j - 1) - k)

如果放在没有放过炮的地方:

放一个炮的列就会加二

同时又有 $C(m-(j-2)-k)$ 种可能

所以需要 $\ast (m-(j-2)-2)$

如果两个都放在有一个炮的地方：

那么就有 $C(j+2)$ 种可能

所以要 $\ast C(j+2)$

把每种情况都讲的这么详细了，不考虑点个赞吗

在学不会可以剖腹了

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愉悦的代码时间：

(一定要注意边界条件)（千万别直接抄）

/*

　　　　　／＞　   フ
　　　　　| 　_　 _|
　 　　　／`ミ _x 彡
　　 　 /　　　 　 |
　　　 /　  ヽ　　 ?
　／￣|　　 |　|　|
　| (￣ヽ＿_ヽ_)_)
　＼二つ

*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int mod = 9999973; 

long long read()
{
    long long x = 0, f = 1; char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
    while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
    return x * f;
}

long long f[110][110][110], n, m, ans;

long long c(long long x)//计算组合数
{
	return (x * (x - 1) / 2) % mod;
}

int main()
{
	n = read(), m = read();
	f[0][0][0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for(int j = 0; j <= m; j++)
		{
			for(int k = 0; k <= m - j; k++)
			{
				f[i][j][k] = f[i - 1][j][k];
				if(k >= 1) f[i][j][k] += (f[i - 1][j + 1][k - 1] * (j + 1));//放在有一个棋子的列
				if(j >= 1) f[i][j][k] += (f[i - 1][j - 1][k] * (m - j - k + 1));//放在没有棋子的列
				if(k >= 2) f[i][j][k] += f[i - 1][j + 2][k - 2] * c(j + 2);//都有一个棋子的列
				if(k >= 1) f[i][j][k] += f[i - 1][j][k - 1] * j * (m - j - k + 1);//一个有棋子，一个没有棋子
				if(j >= 2) f[i][j][k] += f[i - 1][j - 2][k] * c(m - j - k + 2);//都没有棋子的列
				f[i][j][k] %= mod;//不要忘记取模
			}
		}
	}
	for(int i = 0; i <= m; i++)
	{
		for(int j = 0; j <= m; j++)
		{
			ans += f[n][i][j];//统计每种情况下的方案次数
			ans %= mod;//不要忘记取模
		}
	}
	cout << ans;
    return 0;
}

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总结：

这道题还是挺考验思维的，建议反复思考每种情况的公式及其推导，加深理解，最好搭配上自己的理
解，自己再推一遍，收获真的很不一样（千万别只看题解，自己也要手推一遍）