洛谷 P5858 「SWTR-03」Golden Sword

题目链接：

https://www.luogu.com.cn/problem/P5858

题目大意：

小 E 打算铸剑，现在有 n 种原料，编号从 1 到 n，下标为 i 的原料坚固值为 ai, 按照 1 到 n 的顺序依次加入炼金炉，但是炼金炉只能容纳 w 个原料，每放入一个原料前可以取出不超过 s 个的原料，宝剑的耐久度为所有原料耐久度之和，而第 i 种原料的耐久度为放入这种原料时锅内的原料总数（包括正在放入的）* ai，求最大的耐久度。

思路：

原料是按照顺序放入的，同时放入的原料又有限制，可以想到构建一个二维 DP 数组 dp[i][j], i 表示当前放入第几个原料，j 表示当前炉中有几个原料，于是我们可以写出下面的代码。

for (LL i = 1; i <= n; i++)  //当前是第几个原料
	for (LL j = w; j >= 1; j--)  //当前炉中有几个原料
		for (LL k = j - 1; k <= min(w, j + s - 1); k++)  //放入前可能剩下的原料
			dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][k] + j * a[i]);  //加入新的原料

上述代码的时间复杂度为 O(n * w * w)，于是我们考虑优化，可以看到，最内层的 for 循环其实就是找到最大的耐久度后加入新原料，我们可以通过单调队列来实现。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const LL INF = -1e16 + 10;
const int maxn = 5e3 + 10;
LL n, w, s, dp[maxn][maxn], ans, q[maxn], pos[maxn];
vector <LL> a(maxn);
int main(){
	cin >> n >> w >> s;
	for (LL i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%lld", &a[i]);
	for (LL i = 0; i <= n; i++)
		for (LL j = 0; j <= w; j++)
			dp[i][j] = INF;
	dp[0][0] = 0;
	for (LL i = 1; i <= n; i++){
		LL l = 1, r = 1;
		q[l] = dp[i - 1][w];
		pos[l] = w;
		for (LL j = w; j >= 1; j--){
			while (l <= r && pos[l] > j + s - 1) l++;  //取出原料
			while (l <= r && q[r] < dp[i - 1][j - 1]) r--;  //构建单调递减的队列
			pos[++r] = j - 1;  //记录加入的原料的编号
			q[r] = dp[i - 1][j - 1];
			dp[i][j] = q[l] + j * a[i];
		}
	}
	ans = INF;
	for (LL i = 0; i <= w; i++)
		ans = max(ans, dp[n][i]);
	cout << ans << "\n";
	return 0;
}