题解 P1082 同余方程

本题出处：NOIP2012Day2T1

题意：求方程\(ax\equiv1\pmod{b}\)的最小正整数解\(x\)。

\[ax\equiv1\pmod{b} \]

\[\Rightarrow ax+by=1 \]

输入数据保证有解，也就是保证了\(\gcd(a,b)=1\)即\(a,b\)互质。

\[\Rightarrow ax+by=gcd(a,b) \]

直接套用扩展欧几里德\((exgcd)\)模板求解即可。注意取模使得\(x\)为最小正整数。

\(code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define ll long long
#define il inline
#define dou double
#define un unsigned
il int read()
{
	char c=getchar();int x=0,f=1;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
	return x*f;
}
#define INF 114514114
#define clr(x) memset(x,0,sizeof(x))
int a,b,x,y;
il void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(!b)
	{
		x=1;y=0;return ;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
}
int main()
{
	a=read();b=read();
	exgcd(a,b,x,y);
	cout<<(x%b+b)%b<<endl;
	return 0;
}