离散数学（6）

集合的幂与笛卡尔积：

幂集的性质：

1. 

 

2.

 

3.

有序n元组(ordered n-tuple)：(a1,a2 ,… ,an)

有序对(ordered pairs)：当n=2 时，将其称作有序对，也称作序偶，或有序二元组

有序对特点：

1. 若a≠≠b,则（a，b）≠≠（b，a）
2. 两个有序对(a,b)和(c,d)相等当且仅当a=c，b=d

笛卡儿积(Cartesian product)：

笛卡儿积的性质：

1. |A××B|=|A| ××|B|；

2. 对任意集合A，有A××∅∅=∅∅，∅∅××A=∅∅；

3. 笛卡儿积运算不满足交换律，即A××B≠≠B××A；

4. 笛卡儿积运算不满足结合律，即(A××B)××C≠≠A××(B××C)

5. 笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律

   

6. 设A，B，C，D是集合，若A⊆⊆C且B⊆⊆D，则A××B ⊆⊆ C××D。

证明集合的包含关系的常用方法：

1. 利用定义：首先任取x∈∈A，再演绎地证出x∈∈B成立
2. 设法找到一个集合T,满足A⊆⊆T且T⊆⊆B,由包含关系的传递性有A⊆⊆B.
3. 利用A⊆⊆B的等价定义,即A∪∪B=B,A∩∩B=A或A-B=∅∅来证.
4. 利用已知包含式的并、交等运算得到新的包含式
5. 反证法

证明集合相等的常用方法：

1. 若A，B 是有限集，证明A=B可通过逐一比较两集合所有元素均一一对应相等，若A，B 是无限集，通过证明集合包含关系的方法证A ⊆⊆ B，B ⊆⊆ A即可

2. 反证法

3. 利用集合的基本算律以及已证明的集合等式，通过相等变换将待证明的等式左（右）边的集合化到右（左）边的集合，或者两边同时相等变换到同一集合

   

关系

非空集合中的空关系是反自反的、对称的、反对称的和传递的，但不是自反的；

空集合中的空关系则是自反的、反自反的、对称的、反对称的和传递的。

关系的定义：xRy

关系的特点：

1. A××A的任一子集都是A上的一个关系

2. 若|A|=n，则A上的关系有2n22n2个

3. A上有三个特殊关系，即

   空关系∅∅；

   全域关系EA=A××A；

   相等关系IA={(x,x)|x∈∈A}

关系的表示：

1. 集合表示：

   设A={1,2,3,4}， A上的关系R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2)}

2. 关系矩阵

   

3. 关系图：