斜堆（skew heap）
结构定义
斜堆(skew heap)也叫自适应堆(self-adjusting heap)，它是左倾堆的一个变种。通常用来实现优先队列，支持插入，删除，合并操作，并且均摊复杂度都为\(O(lgn)\)。
斜堆在结构上没什么特殊要求，只需要是一颗二叉树，并且结点满足堆序即可。所谓堆序就是父结点的值小于等于儿子结点的值（最小堆），兄弟结点之间的大小没有约束。
操作定义
合并
斜堆的合并操作步骤如下：
- 如果一个空斜堆与一个非空斜堆合并，返回非空斜堆。
- 如果两个斜堆都非空，那么比较两个根结点，将较小的根结点的右孩子对应的子堆和另一个堆去合并，合并得到的新子堆的根结点作为新的右孩子。
- 将当前根结点的左右孩子互换位置。
最后一步很关键，简单地想一下，对于一个结点来说，合并的数据总是交替地插入自己的左边和右边，那么高度是不是就可以控制住了呢。
插入
插入一个结点就相当于合并只有一个结点的斜堆。
删除
移除一个结点，然后合并其左右子堆，用新堆的根结点替代自己即可。
复杂度分析
这里分析合并操作即可。下面将说明合并操作的均摊复杂度就是\(O(lgn)\)。
这里采用均摊分析来计算n次操作中，平均一次操作的均摊代价，首先需要定义一些概念：
- 假设一共要进行n次合并，但最终合并得到的斜堆最多包含n个结点，也就是最多有n个元素。
- 定义重结点（heavy）为右子堆结点数大于左子堆结点数的结点，否则为轻结点。
- 定义右路径为一直往右走的路径。
- 定义势能 \(\Phi（i）\) 为第i次合并后，重结点的个数之和。显然初始势能\(\Phi(0)<n\)，最终势能\(\Phi(n)<n\)。最终势能减初始势能范围也在\((-n,n)\)，最后计算的时候让它加上一个n保持大于0就行了。
考虑第i次合并过程，比如堆a，和堆b。它们右路径上轻、重点个数分别为\(l_a\)，\(h_a\)和\(l_b\)和\(l_b\)。那么这次合并的实际开销为
\[c_i=l_a+h_a+l_b+h_b
\]
本次合并之后，在右路径上，一个重结点右儿子本来就比左儿子重，合并又发生在右儿子，交换后左儿子大于右儿子，所以合并后重结点一定会变轻结点。考虑最坏情况，所有轻结点都变成重结点。并且由于轻结点的性质，一条右路径上的轻结点的数量小于\(lgn\)。
所以本次合并过程的势能变化为
\[\Delta\Phi<l_a+l_b-h_a-h_b
\]
均摊开销等于势能变化加上实际开销
\[\begin{align}
\hat c_i&=\Delta\Phi + c_i\notag \\
&<2(l_a+l_b)\notag \\
&<2lgn\notag \\
\end{align}\]
而n次的均摊开销为
\[\begin{align}
\sum_{i=1}^n c_i + \Phi(n)-\Phi(0) &= \sum_{i=1}^n \hat c_i \notag\\
\sum_{i=1}^n c_i + \Phi(n)-\Phi(0) &<2nlgn\notag \\
\sum_{i=1}^n c_i &<n+2nlgn\notag \\
\end{align}\]
最终平均下来也就是\(O(lgn)\)了。
代码示例
C语言代码示例。
struct skew_heap_node
{
int item;
struct skew_heap_node *left;
struct skew_heap_node *right;
};
struct skew_heap_node *skew_heap_merge(struct skew_heap_node *x, struct skew_heap_node *y)
{
if (NULL == y)
{
return x;
}
else if (NULL == x)
{
return y;
}
if (x->item > y->item)
{
struct skew_heap_node *tmp = x;
x = y;
y = tmp;
}
struct skew_heap_node *r = x->right;
x->right = x->left;
x->left = skew_heap_merge(r, y);
return x;
}
struct skew_heap_node *skew_heap_insert(struct skew_heap_node *x, struct skew_heap_node *y)
{
return skew_heap_merge(x, y);
}
struct skew_heap_node *skew_heap_delete_min(struct skew_heap_node *x)
{
return skew_heap_merge(x->left, x->right);
}
