RSA算法
RSA
1977年，三位数学家Rivest、Shamir和Adleman设计了一种算法，可以实现非对称加密。算法用他们三个人的名字命名，叫做RSA算法。
RSA算法的安全性是基于判断一个数是否为质数很简单，但是要对一个数进行质因子分解很困难这样一个事实。
RSA公私钥生成步骤
- 找两个大的质数\(p\)和\(q\)，越大越不容易破解，计算\(p\)和\(q\)的乘积\(n\)
\[n=p\times q
\]
- 计算\(n\)的欧拉函数\(\varphi(n)\)，由欧拉函数公式可得。
\[\varphi(n)=(p-1)(q-1)
\]
- 找一个和\(\varphi(n)\)互质的整数\(e\)，其中\(1 < e < \varphi(n)\)，在openssl中\(e\)固定为65537。
\[gcd(e,\varphi(n))=1
\]
- 计算整数\(e\)模\(\varphi(n)\)的乘法逆元\(d\)
\[ed\equiv 1\,mod\,\varphi(n)
\]
最终，将\((n,d)\)作为私钥，\((n,e)\)作为公钥
RSA加解密步骤
下面是用私钥加密，公钥解密的过程：
- 加密：
\[X^d\,mod\,n=Y
\]
- 解密：
\[Y^e\,mod\,n=X
\]
这里可以还原出加密的数据是因为
\[\begin{aligned}
(X^d)^e &\equiv X^{de}\,mod\,n\\
&\equiv X^{k\varphi(n)}X\,mod\,n\\
&\equiv X\,mod\,n\\
\end{aligned}
\]
上面的推导中利用了欧拉定理：\(X^{\varphi(n)}\equiv 1\,mod\,n\)，但这需要\(X\)与\(n\)互质。
当\(X\)不与\(n\)互质时，只可能\(X=tp\)或者\(X=tq\)，这里推导\(X=tp\)的情况，这里\(tp\)与\(q\)一定是互质的。此时由欧拉函数公式可得。
\[\begin{aligned}
(tp)^{\varphi(q)} &\equiv 1\,mod\,q\\
(X)^{\varphi(q)} &\equiv 1\,mod\,q\\
(X)^{k\varphi(q)\varphi(p)} &\equiv 1\,mod\,q\\
(X)^{\varphi(n)}X &\equiv X\,mod\,q\\
(X)^{de} &\equiv X\,mod\,q\\
\end{aligned}
\]
推出
\[(tp)^{de}=t'q+tp
\]
由于\(p|t'q\)所以
\[(tp)^{de}=t''pq+tp
\]
上式等价于
\[(tp)^{de}\equiv tp\,mod\,n
\]
\[(X)^{de}\equiv X\,mod\,n
\]
这样也就证明了，即使\(X\)和\(n\)不互质也是可以正确加密和解密的。
RSA安全性
RSA公私钥生成过程中可知，要从\(e\)推导出\(d\)或者相反，必须要知道数\(n\)的欧拉函数\(\varphi(n)=(p-1)(q-1)\)
所以RSA算法的安全性就等价于对大整数\(n\)进行因式分解找出大质数\(p\)和\(q\)，而目前质因子分解并没有多项式解法，所以可能保证一份公私钥对在一定时间内无法被破解。
参考资料
- 阮一峰的博文：RSA算法原理（二）
- 密码学基础1：RSA算法原理全面解析
