欧拉定理
欧拉定理
如果正整数\(n\)和整数\(a\)互质，那么就有
\[a^{\varphi(n)}\equiv 1\,mod\,n
\]
其中\(\varphi(n)\)是欧拉函数
证明：
令\(\Phi=\{x_1,x_2,\cdots,x_{\varphi(n)}\}\)表示小于数\(n\)且与\(n\)互质的数的集合
那么集合\(a\Phi=\{ax_1,ax_2,\cdots,ax_{\varphi(n)}\}\)中的数模\(n\)的余数都不同，这里可用反证法，假设\(ax_i\equiv ax_j\,mod\,n\)，由于\(gcd(a,n)=1\)，推出\(x_i\equiv x_j\,mod\,n\)，这是不可能的
所以集合\(a\Phi=\{ax_1,ax_2,\cdots,ax_{\varphi(n)}\}\)模\(n\)的余数集合\(\{ax_1\%n,ax_2\%n,\cdots,ax_{\varphi(n)}\%n\}\)与\(\{x_1,x_2,\cdots,x_{\varphi(n)}\}\)是相同的（次序不一样）
所以
\[\begin{align}
\prod_{i=1}^{\varphi(n)}{x_i} &\equiv \left(\prod_{i=1}^{\varphi(n)}{ax_i}\right)\,mod\,n\\
&\equiv \left(a^{\varphi(n)}\prod_{i=1}^{\varphi(n)}{x_i}\right)\,mod\,n\\
\end{align}\]
由于\(gcd(\prod_{i=1}^{\varphi(n)}{x_i},n)=1\)，所以消去\(\prod_{i=1}^{\varphi(n)}{x_i}\)，得到
\[a^{\varphi(n)}\equiv 1\,mod\,n
\]
即得证
