欧拉定理

欧拉定理

如果正整数$n$和整数$a$互质，那么就有

$$a^{\varphi(n)}\equiv 1\,mod\,n$$

其中$\varphi(n)$是欧拉函数
证明：
令$\Phi=\{x_1,x_2,\cdots,x_{\varphi(n)}\}$表示小于数$n$且与$n$互质的数的集合
那么集合$a\Phi=\{ax_1,ax_2,\cdots,ax_{\varphi(n)}\}$中的数模$n$的余数都不同，这里可用反证法，假设$ax_i\equiv ax_j\,mod\,n$，由于$gcd(a,n)=1$，推出$x_i\equiv x_j\,mod\,n$，这是不可能的
所以集合$a\Phi=\{ax_1,ax_2,\cdots,ax_{\varphi(n)}\}$模$n$的余数集合$\{ax_1\%n,ax_2\%n,\cdots,ax_{\varphi(n)}\%n\}$与$\{x_1,x_2,\cdots,x_{\varphi(n)}\}$是相同的（次序不一样）
所以

$$\begin{align} \prod_{i=1}^{\varphi(n)}{x_i} &\equiv \left(\prod_{i=1}^{\varphi(n)}{ax_i}\right)\,mod\,n\\ &\equiv \left(a^{\varphi(n)}\prod_{i=1}^{\varphi(n)}{x_i}\right)\,mod\,n\\ \end{align}$$

由于$gcd(\prod_{i=1}^{\varphi(n)}{x_i},n)=1$，所以消去$\prod_{i=1}^{\varphi(n)}{x_i}$，得到

$$a^{\varphi(n)}\equiv 1\,mod\,n$$

即得证