欧拉函数

欧拉函数

对于任意的正整数$n$，求在小于等于$n$的正整数之中，与$n$互质的数的个数，记作$\varphi(n)$，若有质因子分解为$n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}$，则其通项公式为：

$$\varphi(n)=n\prod_{i=1}^{r}{\left(1-\frac{1}{p_i}\right)}$$

证明：
当$n=p$是一个质数时，数$1$到$p-1$都与$p$互质，所以$\varphi(p)=p-1$
当$n=p^k$是一个质数的幂时，有$\frac{p^k}{p}$个数不与$p^k$互质，所以$\varphi(p^k)=p^k\left(1-\frac{1}{p}\right)$
当$n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}$时，有

$$\begin{align} \varphi(p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}) &= \varphi(p_1^{k_1})\varphi(p_2^{k_2})\cdots\varphi(p_r^{k_r})\\ &= p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{p_r}\right)\\ &= n\prod_{i=1}^{r}{\left(1-\frac{1}{p_i}\right)}\\ \end{align}$$

这里$\varphi(p_1^{k_1}p_2^{k_2})=\varphi(p_1^{k_1})\varphi(p_2^{k_2})$，是因为对于数$a\leq p_1^{k_1}$与$p_1^{k_1}$互质，数$b\leq p_2^{k_2}$与$p_2^{k_2}$互质，那么由中国剩余定理可以得出模$p_1^{k_1}p_2^{k_2}$的唯一解$c$，且数$c$与$p_1^{k_1}p_2^{k_2}$互质的充要条件就是数$a$与$p_1^{k_1}$互质，数$b$与$p_2^{k_2}$互质
即得证