中国剩余定理

中国剩余定理（chinese remainder theorem）

若整数$m_1,m_2,\cdots,m_n$两两互质，且$M=m_1m_2\cdots m_n$，那么对于任意整数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，关于$x$的同余方程组

$$\begin{cases} x\equiv a_1\,mod\,m_1\\ x\equiv a_2\,mod\,m_2\\ \vdots\\ x\equiv a_n\,mod\,m_n\\ \end{cases}$$

有模$M$的唯一解：
令$M_i=M/m_i$，$M_i^{-1}$为其模$m_i$的逆元，即$M_i^{-1}M_i\equiv 1\,mod\,m_i$，那么同余方程组的通解为：

$$x\equiv \left(\sum_{i=1}^{n}{a_iM_i^{-1}M_i}\right)\,mod\,M$$