欧几里得算法

欧几里得算法

在«几何原本»中，欧几里得提出了用辗转相除的方法求解两个整数$a,b$的最大公约数的算法：

gcd(a, b)
    if (0 == b) return a
    else return gcd(b, a mod b)

定理：若整数$a,b$的最大公约数为$gcd(a,b)$，那么$gcd(a,b)=gcd(b,a\,mod\,b)$
证明：
令$d$表示$a,b$的公约数，那么$d|a$且$d|b$
推出$d|(a\,mod\,b)=a-kb$
所以$(a,b)$和$(b,a\,mod\,b)$两者拥有的公约数集合是一样的
即得证

算法复杂度

欧几里得算法最多只会递归$\Theta(\log n)$次，所以完全不用担心爆栈，证明如下：
引理：设$a>b\geq 1$并且$gcd(a,b)$递归调用了$k\geq 1$次，那么$a\geq f_{k+2}，b\geq f_{k+1}$，其中$f_k$表示第$k$项斐波那契数
证明：
这里用归纳法证明，当$k=1$时，$b\geq f_2=1,a\geq f_3=2$成立
当$k>1$时，$b\geq f_{k+1},a\,mod\,b\geq f_{k}$并且$a\geq b+(a\,mod\,b)\geq f_{k+1}+f_{k}=f_{k+2}$
即得证
由于$f_k\approx \frac{\phi^k}{\sqrt{5}}$，其中$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，是呈几何倍数增长的，所以欧几里得算法复杂度为$\Theta(\log n)$

扩展欧几里得算法

当要求解方程$a∗x+b∗y=gcd(a,b)$的整数解的时候，只需要扩展一下欧几里得算法就可以得到整数解$(x,y)$：

exgcd(a, b, &x, &y)
    if (0 == b)
        x = 1 y = 0
        return a
    else
        d = exgcd(b, a % b, &xx, &yy)
        x = yy y = xx - a / b * yy
        return d