欧几里得算法

欧几里得算法

在«几何原本»中，欧几里得提出了用辗转相除的方法求解两个整数\(a,b\)的最大公约数的算法：

gcd(a, b)
    if (0 == b) return a
    else return gcd(b, a mod b)

定理：若整数\(a,b\)的最大公约数为\(gcd(a,b)\)，那么\(gcd(a,b)=gcd(b,a\,mod\,b)\)
证明：
令\(d\)表示\(a,b\)的公约数，那么\(d|a\)且\(d|b\)
推出\(d|(a\,mod\,b)=a-kb\)
所以\((a,b)\)和\((b,a\,mod\,b)\)两者拥有的公约数集合是一样的
即得证

算法复杂度

欧几里得算法最多只会递归\(\Theta(\log n)\)次，所以完全不用担心爆栈，证明如下：
引理：设\(a>b\geq 1\)并且\(gcd(a,b)\)递归调用了\(k\geq 1\)次，那么\(a\geq f_{k+2}，b\geq f_{k+1}\)，其中\(f_k\)表示第\(k\)项斐波那契数
证明：
这里用归纳法证明，当\(k=1\)时，\(b\geq f_2=1,a\geq f_3=2\)成立
当\(k>1\)时，\(b\geq f_{k+1},a\,mod\,b\geq f_{k}\)并且\(a\geq b+(a\,mod\,b)\geq f_{k+1}+f_{k}=f_{k+2}\)
即得证
由于\(f_k\approx \frac{\phi^k}{\sqrt{5}}\)，其中\(\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)，是呈几何倍数增长的，所以欧几里得算法复杂度为\(\Theta(\log n)\)

扩展欧几里得算法

当要求解方程\(a∗x+b∗y=gcd(a,b)\)的整数解的时候，只需要扩展一下欧几里得算法就可以得到整数解\((x,y)\)：

exgcd(a, b, &x, &y)
    if (0 == b)
        x = 1 y = 0
        return a
    else
        d = exgcd(b, a % b, &xx, &yy)
        x = yy y = xx - a / b * yy
        return d