常系数线性齐次递推关系

设

h_{0}, h_{1}, h_{2}, \dots, h_{n}, \dots

$h_0,h_1,h_2,\cdots ,h_n,\cdots$

是一个数列，称这个数列满足k阶线性递推关系是指存在量 $a_1,a_2,\cdots ,a_k$ 和量 $b$ ，使得

h_{n} = a_{1} h_{n - 1} + a_{2} h_{n - 2} + \dots + a_{k} h_{n - k} + b

$h_n=a_1h_{n-1}+a_2h_{n-2}+\cdots+a_kh_{n-k}+b$

若量 $b$ 是常数0，则称线性递推关系是齐次的；若量 $a_1,a_2,\cdots ,a_k$ 都是常系数，则称线性递推关系是常系数的。

定理

设q是一个非0数，则 $h_n=q^n$ 是下面常系数线性齐次递推关系

h_{n} - a_{1} h_{n - 1} - a_{2} h_{n - 2} - \dots - a_{k} h_{n - k} = 0

$h_n-a_1h_{n-1}-a_2h_{n-2}-\cdots-a_kh_{n-k}=0$

的解，当且仅当q是下面多项式方程

x^{k} - a_{1} x^{k - 1} - a_{2} x^{k - 2} - \dots - a_{k} = 0

$x^k-a_1x^{k-1}-a_2x^{k-2}-\cdots-a_k=0$

的根。若多项式方程有k个不同的根 $q_1,q_2,\cdots,q_k$ ，则 $h_n$ 有唯一的通项公式

h_{n} = c_{1} q_{1}^{n} + c_{2} q_{2}^{n} + \dots + c_{k} q_{k}^{n}

$h_n=c_1q_1^n+c_2q_2^n+\cdots+c_kq_k^n$

证明：
因为 $h_n=q^n$ 为 $h_n-a_1h_{n-1}-a_2h_{n-2}-\cdots-a_kh_{n-k}=0$ 的解当且仅当

q^{n} - a_{1} q^{n - 1} - a_{2} q^{n - 2} - \dots - a_{k} q^{n - k} = 0

$q^n-a_1q^{n-1}-a_2q^{n-2}-\cdots-a_kq^{n-k}=0$

又由于假设 $q\neq 0$ ，消去 $q^{n-k}$ ，得到唯一的方程

q^{k} - a_{1} q^{k - 1} - a_{2} q^{k - 2} - \dots - a_{k} = 0

$q^k-a_1q^{k-1}-a_2q^{k-2}-\cdots-a_k=0$

所以得出方程有k个根 $q_1,q_2,\cdots,q_k$ ，于是 $h_n$ 的通解为

h_{n} = c_{1} q_{1}^{n} + c 2 q_{2}^{n} + \dots + c_{k} q_{k}^{n}

$h_n=c_1q_1^n+c2q_2^n+\cdots+c_kq_k^n$

代入数列的初始值

h_{0} = b_{0}, h_{1} = b_{1}, \dots, h_{k - 1} = b_{k - 1}

$h_0=b_0,h_1=b_1,\cdots,h_{k-1}=b_{k-1}$

得到以下方程组

{\begin{cases} c_{1} + c_{2} + \dots + c_{k} = b_{0} \\ c_{1} q_{1} + c_{2} q_{2} + \dots + c_{k} q_{k} = b_{1} \\ c_{1} q_{1}^{2} + c_{2} q_{2}^{2} + \dots + c_{k} q_{k}^{2} = b_{2} \\ ⋮ \\ c_{1} q_{1}^{k - 1} + c_{2} q_{2}^{k - 1} + \dots + c_{k} q_{k}^{k - 1} = b_{k - 1} \end{cases}

$\begin{cases} c_1+c_2+\cdots+c_k=b_0\\ c_1q_1+c_2q_2+\cdots+c_kq_k=b_1\\ c_1q_1^2+c_2q_2^2+\cdots+c_kq_k^2=b_2\\ \vdots\\ c_1q_1^{k-1}+c_2q_2^{k-1}+\cdots+c_kq_k^{k-1}=b_{k-1}\\ \end{cases}$

这个方程组的系数矩阵为

[\begin{matrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ q_{1} & q_{2} & \dots & q_{k} \\ q_{1}^{2} & q_{2}^{2} & \dots & q_{k}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ q_{1}^{k - 1} & q_{2}^{k - 1} & \dots & q_{k}^{k - 1} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ q_1 & q_2 & \cdots & q_k\\ q_1^2 & q_2^2 & \cdots & q_k^2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ q_1^{k-1} & q_2^{k-1} & \cdots & q_k^{k-1}\\ \end{bmatrix}$

该矩阵叫做范德蒙矩阵，范德蒙矩阵是可逆的当且仅当 $q_1,q_2,\cdots,q_k$ 互不相同，实际上它的行列式为