容斥原理
容斥原理:在集合S中,对不具有性质P1,P2,⋯,Pm的元素进行计数,令Ai={x:x属于S且具有性质Pi},注意元素x可以同时具有多种性质,那么:
|¯A1∩¯A2∩⋯∩¯Am|=|S|−m∑i=1|Ai|+m∑1≤i<j≤m|Ai∩Aj|−⋯+(−1)m|A1∩A2∩⋯∩Am|
证明:
- 对于不具有任何性质的元素x,计算出的等式为1=1−0+0−⋯+(−1)m0,等式成立
- 对于具有1≤n≤m条性质的元素x,计算出的等式为0=(n0)−(n1)+(n2)−⋯+(−1)n(nn)=(1−1)n,等式成立
- 即得证。
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