容斥原理

容斥原理

容斥原理：在集合S中，对不具有性质$P_1,P_2,\cdots,P_m$的元素进行计数，令$A_i=\{x:x属于S且具有性质P_i\}$，注意元素$x$可以同时具有多种性质，那么：

$$|\bar{A_1} \cap \bar{A_2} \cap \cdots \cap \bar{A_m}|=|S|-\sum^{m}_{i=1}{|A_i|}+\sum^{m}_{1\leq i<j \leq m}{|A_i \cap A_j|}-\cdots+(-1)^m|A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_m|$$

证明：

• 对于不具有任何性质的元素$x$，计算出的等式为$1=1-0+0-\cdots+(-1)^m0$，等式成立
• 对于具有$1\leq n \leq m$条性质的元素$x$，计算出的等式为$0={n \choose 0}-{n \choose 1}+{n \choose 2}-\cdots+(-1)^n{n \choose n}=(1-1)^n$，等式成立
• 即得证。