容斥原理

容斥原理

容斥原理：在集合S中，对不具有性质\(P_1,P_2,\cdots,P_m\)的元素进行计数，令\(A_i=\{x:x属于S且具有性质P_i\}\)，注意元素\(x\)可以同时具有多种性质，那么：

\[|\bar{A_1} \cap \bar{A_2} \cap \cdots \cap \bar{A_m}|=|S|-\sum^{m}_{i=1}{|A_i|}+\sum^{m}_{1\leq i<j \leq m}{|A_i \cap A_j|}-\cdots+(-1)^m|A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_m| \]

证明：

• 对于不具有任何性质的元素\(x\)，计算出的等式为\(1=1-0+0-\cdots+(-1)^m0\)，等式成立
• 对于具有\(1\leq n \leq m\)条性质的元素\(x\)，计算出的等式为\(0={n \choose 0}-{n \choose 1}+{n \choose 2}-\cdots+(-1)^n{n \choose n}=(1-1)^n\)，等式成立
• 即得证。