调和级数求和
调和级数:1+12+13+⋯+1n是一个发散的序列,求和公式为:
n∑i=11i=ln(n+1)+γ
其中γ为欧拉常数,γ≈0.5772156…
证明过程
- 首先需要知道不等式1n+1<ln(1+1n)<1n(通过1⌊x+1⌋和1x和1⌊x⌋三个函数的积分就可以得出)
- ∑ni=11i=1+12+⋯+1n>ln(1+1)+⋯+ln(1+1n)=ln(n+1),所以调和级数发散
- ∑ni=11i=1+12+⋯+1n<1+ln(1+1)+⋯+ln(1+1n−1)=1+ln(n)
- 令Sn=∑ni=11i−ln(n)<1,也就是说有上界
- 且Sn+1−Sn=1n+1−ln(nn+1)>0,也就是单调递增
- 由单调有界极限定理可知Sn有极限,这个极限就是欧拉常数γ≈0.5772156…
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