调和级数求和

调和级数求和

调和级数:1+12+13++1n是一个发散的序列,求和公式为:

i=1n1i=ln(n+1)+γ

其中γ为欧拉常数,γ0.5772156

证明过程

  1. 首先需要知道不等式1n+1<ln(1+1n)<1n(通过1x+11x1x三个函数的积分就可以得出)
  2. i=1n1i=1+12++1n>ln(1+1)++ln(1+1n)=ln(n+1),所以调和级数发散
  3. i=1n1i=1+12++1n<1+ln(1+1)++ln(1+1n1)=1+ln(n)
  4. Sn=i=1n1iln(n)<1,也就是说有上界
  5. Sn+1Sn=1n+1ln(nn+1)>0,也就是单调递增
  6. 由单调有界极限定理可知Sn有极限,这个极限就是欧拉常数γ0.5772156
posted @   HachikoT  阅读(12316)  评论(0编辑  收藏  举报
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