调和级数求和

调和级数求和

调和级数：$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$是一个发散的序列，求和公式为：

$$\sum^{n}_{i=1}{\frac{1}{i}}=ln(n+1)+\gamma$$

其中$\gamma$为欧拉常数，$\gamma\approx0.5772156\ldots$

证明过程

1. 首先需要知道不等式$\frac{1}{n+1}<ln(1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}$（通过$\frac{1}{\lfloor x+1 \rfloor}$和$\frac{1}{x}$和$\frac{1}{\lfloor x \rfloor}$三个函数的积分就可以得出）
2. $\sum^{n}_{i=1}{\frac{1}{i}}=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}>ln(1+1)+\cdots+ln(1+\frac{1}{n})=ln(n+1)$，所以调和级数发散
3. $\sum^{n}_{i=1}{\frac{1}{i}}=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}<1+ln(1+1)+\cdots+ln(1+\frac{1}{n-1})=1+ln(n)$
4. 令$S_n=\sum^{n}_{i=1}{\frac{1}{i}}-ln(n)<1$，也就是说有上界
5. 且$S_{n+1}-S_n=\frac{1}{n+1}-ln(\frac{n}{n+1})>0$，也就是单调递增
6. 由单调有界极限定理可知$S_n$有极限，这个极限就是欧拉常数$\gamma\approx0.5772156\ldots$