随笔分类 - 数学常识
程序员的数学常识
摘要：欧拉定理 如果正整数$n$和整数$a$互质，那么就有 \(a^{\varphi(n)}\equiv 1\,mod\,n\) 其中$\varphi(n)$是欧拉函数 证明： 令$\Phi={x_1,x_2,\cdots,x_{\varphi(n)}}$表示小于数$n$且与$n$互质的数的集合 那么集合
阅读全文
摘要：斯特林公式（Stirling formula） 斯特林公式用来求阶乘$n!$的通项公式，一般来说，当n很大的时候，n阶乘的计算量十分大，所以斯特林公式十分好用，而且，即使在n很小的时候，斯特林公式的取值已经十分准确。 \(n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right
阅读全文
摘要：欧拉函数 对于任意的正整数$n$，求在小于等于$n$的正整数之中，与$n$互质的数的个数，记作$\varphi(n)$，若有质因子分解为$n=p_1^p_2^\cdots p_r^$，则其通项公式为： \(\varphi(n)=n\prod_{i=1}^{r}{\left(1-\frac{1}{p_
阅读全文
摘要：中国剩余定理（chinese remainder theorem） 若整数$m_1,m_2,\cdots,m_n$两两互质，且$M=m_1m_2\cdots m_n$，那么对于任意整数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，关于$x$的同余方程组 $$\begin x\equiv a_1,mod,
阅读全文
摘要：欧几里得算法 在«几何原本»中，欧几里得提出了用辗转相除的方法求解两个整数$a,b$的最大公约数的算法： gcd(a, b) if (0 == b) return a else return gcd(b, a mod b) 定理：若整数$a,b$的最大公约数为$gcd(a,b)$，那么$gcd(a,
阅读全文
摘要：常系数线性齐次递推关系 设 \(h_0,h_1,h_2,\cdots ,h_n,\cdots\) 是一个数列，称这个数列满足k阶线性递推关系是指存在量$a_1,a_2,\cdots ,a_k$和量$b$，使得 \(h_n=a_1h_{n-1}+a_2h_{n-2}+\cdots+a_kh_{n-k}
阅读全文
摘要：容斥原理 容斥原理：在集合S中，对不具有性质$P_1,P_2,\cdots,P_m$的元素进行计数，令$A_i={x:x属于S且具有性质P_i}$，注意元素$x$可以同时具有多种性质，那么： \(|\bar{A_1} \cap \bar{A_2} \cap \cdots \cap \bar{A_m}
阅读全文
摘要：调和级数求和 调和级数：$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}$是一个发散的序列，求和公式为： \(\sum^{n}_{i=1}{\frac{1}{i}}=ln(n+1)+\gamma\) 其中$\gamma$为欧拉常数，\(\gamma\approx0
阅读全文