金库计划 5

我们将难度分为 $5$ 个等级:

$\color{grey}\bigstar$ 简单题，模板题或者难度为省选 $\sf{D1T1}^{-}$ 的题目。

$\color{green}\bigstar$ 签到题，难度近似于省选 ${\sf{D1T1}^{+}}\sim {\sf{D2T1}}$ 的题目。

$\color{blue}\bigstar$ 中等题，难度近似于省选 ${\sf{D2T1}^{+}}\sim \sf{D(1/2)T2}$ 的题目。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ 困难题，难度近似于省选 ${\sf{D2T2}^{+}}\sim \sf{D(1/2)T3}$ 的题目。

$\color{red}\bigstar$ zak 题，远超省选水平的题，做这种题可以开拓视野，启迪思维。

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题目后面会写一点评价与感悟。

$\boldsymbol{[2025/03/05]}$#

金库#

$\color{green}\bigstar$ qoj 9770。$\color{Magenta}{\text{tag}}$：构造。
思路分析：分析 $k$ 次操作能得到的点集，发现 $S_k = \left\{\left(\frac{Ax}{2^k}, \frac{By}{2^k}\right) \mid 0 \le x, y \le 2^k \right\}$。
对比 $S_{k-1}$，因此发现每次操作能钦定一个端点为初始矩形的四个端点上，从终点倒退即可。

问题分析解决#

罗列一下近期需要解决的问题。

0. 趁现在 oi 不需要卷那么多，应该多思考一下卷的目的以及方法，不能盲目跟着别人或者机构做题，收获小太多了。

1. 分析 D1T3 只拿到 8pts 的原因，目标是至少要做到会树，会 $O(n^2)$。

2. 调出 D2T1 并分析为什么这种简单题没有场切。

3. 和 Doqe 聊一下 oi 和 whk 的学习上的瓶颈，借鉴一点优秀的成功经验。

4. 给 /ww 队提交一份自己这个赛季出现的问题反思，以及将来的解决办法。

$\boldsymbol{[2025/03/06]}$#

金库#

$\color{green}\bigstar$ qoj 9774。$\color{Magenta}{\text{tag}}$：哈希，线段树，树状数组。
思路分析：设相同的和为 $s$，发现条件等价于区间集合 $S=\{s-x\mid x\in S\}$。维护集合相等就考虑哈希。
考虑 $s_1=\sum\limits_{x\in [l,r]}g^{a_x}$ 和 $s_2=\sum\limits_{x\in [l,r]}g^{-a_x}$，令 $m$ 表示区间平均数，则 $s_1=g^{2m}s_2$，直接判断即可。正确率很感人的。

$\color{blue}\bigstar$ P11831。$\color{Magenta}{\text{tag}}$：bitset。
思路分析：看到诸如 6e4，8e4 的部分分就很想乱搞多拿点分，这题乱搞要注重减少枚举的答案数量。
显然当 $r-l$ 小或可达点个数少的时候可以直接暴力枚举。否则从后往前扫 $b$ 的值判断是否满足，这时候感性理解一下扫描次数可能不会很多，并且内存极度连续。卡不满足够通过。

问题分析解决#

• 或许要对算法坑做一个总结？看看自己到底有哪些缺漏。

• 经过和 /ww 队的深刻交流，发现缺少对于算法本质优化的理解，思维上的跳步和怠惰、以及得过且过的思想导致了很少思考对于优化实质的理解。每一题都必须参考今天第一题的思路分析那样写，写明自己的思维链。

• 需要意识到自己做再多题都是没有用的，于是自己需要留下逻辑思维上的提升过程，姑且把这个当做训练目的。

$\boldsymbol{[2025/03/07]}$#

金库#

写了 D1T3 树的部分分，但是还没有完全理解。

问题分析解决#

放低姿态和心态，就当自己没进队很菜了，打比赛能有更好的心态。

$\boldsymbol{[2025/03/08]}$#

金库#

打了 abc396。

问题分析解决#

发现自己和其他选手的差距在于“有些东西没理解清楚”而非卷得不够多。

要要争取找大模型大知识上多一点东西的题，然后慢慢把常见的小技巧规约为推出来的东西，把思路展开清楚，避免引用题目，引用模型。

把心态放平，解决自己的问题，不需要关注别人的差距。

你的思路变清晰，就会反应在你在思考题目的时候减少了多余的思考，做题不那么费神。

$\boldsymbol{[2025/03/09]}$#

金库#

$\color{green}\bigstar$ P11822。$\color{Magenta}{\text{tag}}$：贪心，二分，记忆化。
思路分析：考虑看成区间往前跳。首先有个很显然的 $O(n^2\log n)$ 做法，对每个 $k$ 贪心二分找满足条件的最近左端点，然后不断贪心跳下去，一定是字典序最大解。
这东西卡不满于是有 $\rm{85pts}$。考虑优化，注意到在当前端点以及上一个端点一定时之后的决策都是一定的。于是考虑记忆化部分决策，但是记忆化太多 umap 的时间又会坠机。
于是我们考虑记忆化距离 $r-l\le 23$ 的相邻端点即可通过。此外还有其他很多记忆化方法均能通过，还是比较松的。

问题分析解决#

• 发现自己潜意识里面并没有重视对规划的思考，导致思考的并不多，很有鼠目寸光的感觉。

• 明确了一下有明确思考时间的是午饭后和晚上放学后的一段时间，然后钦定自己需要写一些手帐记录自己的思考。

$\boldsymbol{[2025/03/10]}$#

金库#

$\color{green}\bigstar$ P3791。$\color{Magenta}{\text{tag}}$：整除分块，二进制，记忆化。
思路分析：显然 $[0,n)\ \text{xor}\ [0,m)$ 能拆分为 $\log n\log m$ 个区间，然后剩下的贡献是 $d(n)$ 前缀和的形式，$\sum\limits_{i\le n} d(i)=\sum\limits_{i\le n}\lfloor n/i\rfloor$，整除分块计算即可。但是注意到只需要计算本质不同的 $\log n+\log m$ 个 $\sum d(i)$，于是记忆化一下即可，复杂度 $O(\sqrt n\log n)$。

问题分析解决#

在开新题之前停下来思考一下做题优先级，以及开这题是否在当前是必要的。

$\boldsymbol{[2025/03/11]}$#

金库#

$\color{blue}\bigstar$ URAL-1667。$\color{Magenta}{\text{tag}}$：数学，构造。
思路分析：考虑缩小问题规模，发现只需构造 $\sum a_i^2,\sum b_i^2$ 为完方，然后 $c_{i,j}=(a_ib_j)^2$ 即可。

观察到解其实比较稠密（其实是我确定性构造都爆 $10^{17}$ 的界了），于是我们感性得说明随机构造是对的。

随机构造形如：前 $n-1$ 个在 $[1,400]$ 内随机成各不相同，最后一个数在 $[1,400]$ 内枚举。然后若不合法就一直随一直随。

感性说明正确性

就你随机前 $n-1$ 个数，然后是 $s+p^2=q^2$ 的形式。

注意到只要 $s\not\equiv 3\pmod 4$ 就有解，然后 $s$ 能稍微分解一下质因数就能让 $p$ 很小，所以这个方程有解的概率挺大。

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但是还有 $a_ib_j$ 互不相同的限制，这个东西你跑一下发现也是常数级别，最坏大概几千次左右就能出。

$\color{green}\bigstar$ P11833。$\color{Magenta}{\text{tag}}$：贪心。
思路分析：请查看题解。

问题分析解决#

应 Doqe 要求，再次从算法角度审视一遍自己，补齐省选/NOI级别的算法。

$\boldsymbol{[2025/03/12]}$#

金库#

$\color{green}\bigstar$ P11845。$\color{Magenta}{\text{tag}}$：二分，思维。
思路分析：这东西很容易想到二分答案然后考虑 $01$。对于 $01$ 串，肯定是考虑贪心消 $0$，按照这个贪心摸一些情况或者打表，注意到少量的 $1$ 就能导致结果为 $1$ 了。

经过一些分讨和观察，注意到若串长 $\ge 7$，则长奇数取最大值，长偶数取次大值（因为最后一次是取 $\min$）。

剩下的小串，对于 $01$ 串暴力预处理出所有可能，然后对于所有 $\le 6$ 的串，从大往小扫判断生成 $01$ 串是否可行即可。

问题分析解决#

提效率，提水平。翻翻自己的 todo list，尽量一件一件给自己清掉。

$\boldsymbol{[2025/03/13]}$#

打了 苍穹计划 -- NOI排位赛 #1，$0+100+0=100$，rk. 26。

太摆烂了！

金库#

问题分析解决#

• 对于提升效率方面，最初可以先从做简单题开始，越打越顺。慢慢磨练出自己不急不躁的心态。

• 关于提升水平方面，偏重国内题发展，看看自己薄弱的算法，薄弱部分还是需要批量做题的。选择的题目类型可以从谢队记录中感受一下。但是切忌不能完全模仿，毕竟年代差距有点大了。

• 试着放松一下自己，别卷了。