loj #6673. EntropyIncreaser 与山林 题解

题目描述#

一句话题意：给定简单图 $G = (V, E)$，你需要计算出有多少个边的子集 $E' \subseteq E$，使得由这些边构成的 $G$ 的生成子图是欧拉图。

$n\le 20,m\le \frac{n(n-1)}{2}$

题解#

首先我们对点集而不是边集计数，统计 $f_S$ 表示点集 $S$ 的导出子图中，能有多少种选边集的方式使得其为欧拉图。

考虑一个图是欧拉图的充要条件，发现当且仅当图联通且每个点的 $\deg$ 均为偶数。

考虑第一个条件可以用 $\ln-\exp$ 处理。

现在我们需要 $\forall S$，统计 $g_S$ 表示点集 $S$ 的导出子图中，能有多少种选边集的方式使得所有点 $\deg$ 均为偶数。

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考虑经典生成树：对于点集导出子图的每个联通块，我们注意到生成树是很关键的。

于是任意钦定一颗生成树，此时其他边我们爱咋选咋选，此时一定恰好存在一种生成树上的选择方案使得所有点 $\deg$ 均为偶数。

具体证明就考虑从叶子到根做一遍 dfs，若是奇数则选父亲边即可。

于是每个 $(n,m)$ 联通块有 $2^{m-(n-1)}$ 种方案。

于是 $g_S=2^{E_S-V_S+con_S}$，三个量分别表示边数，点数，联通块数。

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然后对于集合幂级数 $F(x)=\sum\limits_{S}f_Sx^S,G(x)=\sum\limits_{S}g_Sx^S$。

我们有 $G(x)=1+F(x)+\dfrac{F(x)^2}{2!}+\dfrac{F(x)^3}{3!}+\cdots =\exp F(x)$，其中乘法表示子集卷积。

于是 $F=\ln G$，做一下集合幂级数 $\ln$ 即可。具体参考 cmd 博客最后一章。

复杂度 $O(n^22^n)$，常数劣的可以学学我代码的写法，感觉很小清新。

$\text{record}$