qoj 1168 题解及线性基相关探究

引子：qoj 1168。引子需要的前置知识：P4151。

简要题意#

给定 $n$ 个点 $m$ 条边的无向联通图 $G$，边有边权。其中 $(u,v)$ 的距离 $d(u,v)$ 定义为 $u\to v$ 的最大 $\text{xor}$ 路径。

$q$ 次询问 $l,r$，求 $\bigoplus\limits_{l\le i<j\le r}d(i,j)$ 的值。

$1\le n,m,q\le 10^5,0\le w<2^{30}$。

一些转化#

首先必然套用 P4151 的结论：设所有环的异或和构成空间为 $V$。$d'(u,v)$ 为 $u\to v$ 的任意一条路径的异或和。

则 $d(u,v)=\max\{d'(u,v)\oplus x\mid x\in V\}$。考虑记变换 $F_V(x)=\max\{x\oplus a\mid a\in V\},G_V(x)=\min\{x\oplus a\mid a\in V\}$。

$d(u,v)=F_V(d'(u,v))$，由于一些深刻的理论，我们接下来对 $F,G$ 的关系进行探究。

线性基上的 min/max 探究#

我们给出如下结论：

• $F_V(x)\oplus F_V(y)=G_V(x\oplus y)$

• $G_V(x)\oplus G_V(y)=G_V(x\oplus y)$

• $F_V(x)\oplus G_V(y)=F_V(x\oplus y)$

简而言之：

$\oplus$	$F$	$G$
$F$	$F$	$G$
$G$	$G$	$F$

下面证明 $F\oplus F\to G$，其他同理。下面过程为了迎合 oi 中的线性基算法，可能有少许不严谨。

记 $V$ 的线性基的构成元素为 $B_0,B_1,\cdots,B_L$，但是这里我们令 $B_L$ 有二进制最高位 $L$，并把剩下缺的 $B$ 补齐为 $0$。

考察 $F_V(x)$ 运算在 $L\to 0$ 的每一位中的决策，这对于每一位是一致的，即：

当第 $k$ 位为 $0$ 时，异或上 $B_k$。当第 $k$ 位为 $1$ 时，不异或上 $B_k$。

$G$ 则是：当第 $k$ 位为 $0$ 时，不异或上 $B_k$。当第 $k$ 位为 $1$ 时，异或上 $B_k$。

---

我们把 $F_V(x)$ 和 $F_V(y)$ 在第 $k$ 位的决策合并起来：

$F\oplus F$：当 $x\oplus y$ 第 $k$ 位为 $0$ 时，不异或上 $B_k$。当第 $k$ 位为 $1$ 时，异或上 $B_k$。

我们就得出了 $G_V(x\oplus y)$。

---

更进一步的，显然我们能基于上面三个推出：

$F^a\oplus G^b\to \begin{cases}G(2\mid a)\\F(2\nmid a)\end{cases}$

并且，我们注意到 $G$ 是一个线性变换，即根据 $G_V(x)\oplus G_V(y)=G_V(x\oplus y)$。这将很有用。

原题解法#

首先容易根据前置知识求出 $\{a\},V$，其中 $V$ 为线性基，$a$ 满足：$d'(u,v)=a_u \oplus a_v$。

根据上述理论，我们有：$F_V(x)=F_V(x\oplus 0)=F_V(0)\oplus G_V(x)$。

于是 $\bigoplus\limits_{l\le i<j\le r}F_V(d'(i,j))=\bigoplus\limits_{l\le i<j\le r}F_V(0)\oplus \bigoplus\limits_{l\le i<j\le r}G_V(d'(i,j))=\bigoplus\limits_{l\le i<j\le r}F_V(0)\oplus G_V\left(\bigoplus\limits_{l\le i<j\le r}d'(i,j)\right)$

于是单次询问就容易处理了，上个线性基板子即可。

$\texttt{code}$

//qoj 1168
//https://qoj.ac/contest/537/problem/1168
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define fr(x) freopen(#x".in","r",stdin);freopen(#x".out","w",stdout);
using namespace std;
const int N=1e5+5;
struct edge{int to,nex,w;}e[N<<1];
int n,m,q,tot,head[N],B[31],a[N];bool v[N];
inline void add(int u,int v,int w)
{
	e[++tot]={v,head[u],w};head[u]=tot;
	e[++tot]={u,head[v],w};head[v]=tot;
}
inline void ins(int x)
{
	for(int i=30;i>=0;i--)
		if((x>>i)&1)
		{
			if(!B[i]){B[i]=x;break;}
			x^=B[i];
		}
}
inline int que(int x){for(int i=30;i>=0;i--) if((x^B[i])<x) x^=B[i];return x;}
void dfs(int x,int s)
{
	a[x]=s;v[x]=1;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nex)
	{
		int to=e[i].to;
		!v[to]?dfs(to,s^e[i].w):ins(s^a[to]^e[i].w);
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
	for(int u,v,w;m--;) scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),add(u,v,w);
	dfs(1,0);int mx=0;
	for(int i=30;i>=0;i--) if((mx^B[i])>mx) mx^=B[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]^=a[i-1];
	for(int l,r;q--;)
	{
		scanf("%d%d",&l,&r);int x=r-l,ans=0;
		if(x&1) ans^=que(a[r]^a[l-1]);
		if(((LL)x*(x+1)/2)&1) ans^=mx;printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}