P10871 皇后 Kraljice 题解
做构造题是这样的。。。
这题我想到了一个绝妙的构造方法，空间足够，我写下了。
首先，当 \(n\le 2\) 时答案均为 \(1\)。下面 \(n\ge 3\)。
此时若 \(n\) 为奇数，则答案为 \(n^2\)。否则答案为 \(n^2-2\)。
接下来构造。请注意观察 \(n=3\) 的情况，尤其是倒二步剩下的那个缺口，在后面十分关键。
首先考虑偶数，先是 \(n=4\) 的情况。
我们先构造一个缺口：
0111
0x11
0111
x000
而后再依次填上位置 \((1,1),(4,2),(4,4),(3,1),(2,1),(4,3)\) 即可，其中两个 x 是最后空的格子。
然后考虑构造一个如下的外壳递归到 \(n-2\) 的情况：
111111
100001
100001
100001
100001
111111
首先这样：
1357...00
0000...00
0000...00
0000...00
0000...00
4286...00
继续下去构造成这样 \((*)\)：
1111...1100
0000...0000
0000...0000
0000...0000
0000...0000
1111...1100
但此时最后四个不能类似构造（对角线有影响），稍微动点脑子：
1111...11AB
0000...0000
0000...0000
0000...0000
0000...0000
1111...11DC
然后是左右两侧：
1111...1111
A000...000D
1000...0004
. . .
. . .
. . .
3000...0002
C000...000B
1111...1111
此时没有对角线的影响能直接构造完整个边框。
然后递归：\(n\to n-2\to n-4\to \cdots \to 4\)，最后上 \(n=4\) 的构造即可。
$\texttt{even}$
inline void out(int x,int y){cout<<x<<" "<<y<<"\n";}//输出
inline void ex3(int m,int M)
{
out(m,M+1);out(m+1,M-1);out(m,M);out(m-1,M-1);
out(m+1,M+1);out(m+1,M);out(m-1,M);out(m-1,M+1);
}//3 的带有缺口的构造
namespace even
{
inline void sol(int l,int r)
{
if(l+3==r) return;
for(int i=l;i<r-2;i+=2)
{
out(l,i);out(r,i+1);
out(l,i+1);out(r,i);
}
out(l,r-1);out(l,r);
out(r,r);out(r,r-1);
for(int i=l+1;i<=(l+r-1)/2;i++)
{
out(i,l);out(l+r-i,r);
out(l+r-i,l);out(i,r);
}
sol(l+1,r-1);
}//构造边框，递归到 n-2
inline void get()
{
cout<<n*n-2<<"\n";
sol(1,n);
int l=(n/2)-2;ex3(l+2,l+3);
out(l+1,l+1);
out(l+4,l+2);
out(l+4,l+4);
out(l+3,l+1);
out(l+2,l+1);
out(l+4,l+3);//n=4 的构造
}
}
然后考虑奇数，此时构造边框就比较难了（反正我不会）。
此时考虑一点其他的优美构型，参考 \(n\) 为偶数时左右边框的方法：
先这样：
0000000
1000001
1000001
0000000
1000001
1000001
0000000
再这样：
0110110
1000001
1000001
0000000
1000001
1000001
0110110
递归下去，构造成只剩余中间米字型：
0110110
1010101
1100011
0000000
1100011
1010101
0110110
此时如果直接填满中间 \(3\times 3\)，则剩下就没有位置可以给我们填了。
还是考虑 \(3\times 3\) 构造中的缺口！
我们先这样构造，其中 x 位置是缺口：
0110110
1010101
1111111
00x1100
1111111
1010101
0110110
然后继续剥外壳（按字母顺序）：
E11B11G
1010101
1111111
A0x110C
1111111
1010101
D11H11F
然后把剥外壳的过程递归下去构造，最后填上位置 x 即可！
$\texttt{odd}$
inline void out(int x,int y){cout<<x<<" "<<y<<"\n";}//输出
inline void ex3(int m,int M)
{
out(m,M+1);out(m+1,M-1);out(m,M);out(m-1,M-1);
out(m+1,M+1);out(m+1,M);out(m-1,M);out(m-1,M+1);
}//3 的带有缺口的构造
namespace odd
{
inline void sol(int l,int r)
{
if(l==r) return;int m=(l+r)/2;
for(int i=l+1;i<m;i++)
{
out(i,l);out(l+r-i,r);
out(n+1-i,l);out(i,r);
}
for(int i=l+1;i<m;i++)
{
out(l,i);out(r,l+r-i);
out(l,l+r-i);out(r,i);
}
sol(l+1,r-1);
}//递归构造到只剩米字型
inline void sol1(int l,int r)
{
if(l+2==r) return;int m=(l+r)>>1;
out(m,l);out(l,m);out(m,r);
out(r,l);out(l,l);out(r,r);out(l,r);
out(r,m);
sol1(l+1,r-1);
}//继续剥米字型的外壳
inline void get()
{
cout<<n*n<<"\n";
sol(1,n);
int m=(n+1)/2;ex3(m,m);
sol1(1,n);
out(m,m-1);
}
}
于是本题就做完啦！这篇题解给出了一种极其精妙且极富有对称性的构造方法。欢迎大家学习借鉴。
$\texttt{code}$
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define fr(x) freopen(#x".in","r",stdin);freopen(#x".out","w",stdout);
using namespace std;
const int N=1<<10|5;
int n;
inline void out(int x,int y){cout<<x<<" "<<y<<"\n";}
inline void ex3(int m,int M)
{
out(m,M+1);out(m+1,M-1);out(m,M);out(m-1,M-1);
out(m+1,M+1);out(m+1,M);out(m-1,M);out(m-1,M+1);
}
namespace odd
{
inline void sol(int l,int r)
{
if(l==r) return;int m=(l+r)/2;
for(int i=l+1;i<m;i++)
{
out(i,l);out(l+r-i,r);
out(n+1-i,l);out(i,r);
}
for(int i=l+1;i<m;i++)
{
out(l,i);out(r,l+r-i);
out(l,l+r-i);out(r,i);
}
sol(l+1,r-1);
}
inline void sol1(int l,int r)
{
if(l+2==r) return;int m=(l+r)>>1;
out(m,l);out(l,m);out(m,r);
out(r,l);out(l,l);out(r,r);out(l,r);
out(r,m);
sol1(l+1,r-1);
}
inline void get()
{
cout<<n*n<<"\n";
sol(1,n);
int m=(n+1)/2;ex3(m,m);
sol1(1,n);
out(m,m-1);
}
}
namespace even
{
inline void sol(int l,int r)
{
if(l+3==r) return;
for(int i=l;i<r-2;i+=2)
{
out(l,i);out(r,i+1);
out(l,i+1);out(r,i);
}
out(l,r-1);out(l,r);
out(r,r);out(r,r-1);
for(int i=l+1;i<=(l+r-1)/2;i++)
{
out(i,l);out(l+r-i,r);
out(l+r-i,l);out(i,r);
}
sol(l+1,r-1);
}
inline void get()
{
cout<<n*n-2<<"\n";
sol(1,n);
int l=(n/2)-2;ex3(l+2,l+3);
out(l+1,l+1);
out(l+4,l+2);
out(l+4,l+4);
out(l+3,l+1);
out(l+2,l+1);
out(l+4,l+3);
}
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);cin>>n;
if(n<=2) return cout<<"1\n1 1\n",0;
return (n&1)?odd::get():even::get(),0;
}
