2024.7 训练日记

$\color{grey}\bigstar$ 可以秒杀的题。

$\color{green}\bigstar$ 思考一会儿后可以秒的题。

$\color{blue}\bigstar$ 需要较长时间思考的题。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ 看题解、稍加指点就会做的题。

$\color{red}\bigstar$ 看题解后需要较长时间消化，甚至现在都没有完全理解的题。

题目后面会写一点评价与感悟。按照 Linshey 意见，一套模拟赛算 $1$ 题。

日期范围：$7.1\sim 7.31$。总计过题：$88$。

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7.1#

当天过题数：$6$。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ qoj 8838，当只有一个置换环的时候构造有点难想。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ qoj 8833，计数题。

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$\color{red}\bigstar$ CF566C，妙妙题！稍微讲一下。

一种常见的找重心的方法就是：每次移动到相邻节点判断会不会更优，然后移动。此题可以推广到边权为任意关于 $dis$ 的下凸函数。

记 $\mathbb{L}_{u'}$ 表示以 $u$ 为根，$u'$ 子树中点构成的集合，考虑到从 $u\to u'$ 时式子的变化：

记 $f(x)=\sum\limits_{v\in \mathbb{L}_{u'}} a_v(dis(u,v)-x)^{3/2}+\sum\limits_{v\notin \mathbb{L}_{u'}} a_v(dis(u,v)+x)^{3/2}$，$w=w(u,u')$，则变化为 $f(0)\to f(w)$。

注意到 $f(x)$ 由若干下凸函数加起来，仍为下凸函数 $(f''(x)\ge 0)$。于是若 $f'(0)\ge 0$，则 $f'(x)\ge 0(x\ge 0)$。

此时 $f(w)-f(0)=\displaystyle\int_0^w f'(x)\mathbb{d} x\ge 0$，于是 $u\to u'$ 一定不优。

于是 $u\to u'$ 变优 $\Rightarrow f'(0)<0\Rightarrow\dfrac{3}{2}\left(\sum\limits_{v\in \mathbb{L}_{u'}} -a_v dis(u,v)^{1/2}+\sum\limits_{v\notin \mathbb{L}_{u'}} a_v dis(u,v)^{1/2}\right)<0$。

记 $p_{u'}=\sum\limits_{v\notin \mathbb{L}_{u'}} a_v dis(u,v)^{1/2}$，则 $f'(0)<0\Rightarrow \sum\limits_{v\in son_u} p_{v}-2p_{u'}<0$。

于是这样的可能更优决策 $u'$ 至多只有一个！然后点分治移动即可。如果无法移动那么这个点就是最优。

有可能 $u\to v$ 可能更优，然后 $v\to u$ 可能更优。此时直接比较一下俩哪个更优即可。复杂度 $O(n\log n)$。

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$\color{green}\bigstar$ P7481，简单整式递推练手题，std 推法想不到。

$\color{green}\bigstar$ ABC360G，其实是简单题，但是细节有点小多，被创了。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P10553，妙妙交互题！

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7.2#

当天过题数：$2$。

$\color{green}\bigstar$ 随机游走问题，简单数学题。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ ARC180B，逆排列很妙。

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7.3#

vp The 2nd Universal Cup. Stage 23: Shanghai。

当天过题数：$5$。

$\color{blue}\bigstar$ qoj 8051，神秘思维题，赛事我 WA 了好多发才过的。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ qoj 8052，MO 题，赛事 hpt 找到了 IMOSL 中类似的题找到了结论。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ qoj 8049，妙妙背包题，以及不知道是否经典的 trick。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ qoj 8058，经典套路是尝试两个串共同转换成一个标准串。注意到有 $10\to 11\to 100\to 10$ 的环，特判串为 1 的情况即可。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ ABC290F，调整状态所做，考虑先拉出直径，往上挂点，组合数算算即可。

7.4#

vp 2024 北京市大学生程序设计竞赛。

当天过题数：$4$。

$\color{blue}\bigstar$ qoj 8714，直接暴力三维数点，比价唐的做法。

$\color{green}\bigstar$ qoj 8717，简单的猫树分治，后续处理需要一点小技巧。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ qoj 8715，没想到中位数那步，而且后面的 NTT 式子也没推出来实在是太不应该了。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ CF1552G，很深刻的题，类似 P10360。

7.5#

打了2024--苍穹计划--NOI排位赛 #35。

当天过题数：$5$。

$\color{blue}\bigstar$ 微观戏剧，打表发现是斯特林数前缀和，能线性算。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ CF1830C，妙妙性质题。

$\color{green}\bigstar$ P10680，简单根号分治。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P6694，很好的数学题。

$\color{red}\bigstar$ P10681，自己的做法太繁了，有个式子太妙了，我实在理解不了。

7.6-7.12 省队集训#

详见 2024 福建省队集训录。接下来省集的比赛题以及订正都只算一题。

7.6#

当天过题数：$3$。

$\color{green}\bigstar$ CF449D，简单高维前缀和。

$\color{red}\bigstar$ loj 3409，太高妙了这题。

7.7#

当天过题数：$5$。

$\color{green}\bigstar$ P6076，两次容斥做完。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P10682，一个经典线性基结论加经典拆环状物的结论。为啥自己没做出来呢？反思！

$\color{green}\bigstar$ ABC303H，简单 Prufer 序列结论题，套个多项式快速幂做完。

$\color{green}\bigstar$ qoj 969，If only some kind soul would tell us a_1000000...。

7.8#

当天过题数：$5$。

$\color{red}\bigstar$ ARC148F，蒙哥马利算法。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ ARC180C，dp 中关键那一步还是很妙的。

$\color{green}\bigstar$ CF379F，duel 的题，动态直径秒了。

$\color{green}\bigstar$ P10833，鉴定为数据结构学傻了导致的。我的做法是直接找所有极小 mex 区间判断。

7.9#

当天过题数：$2$。

$\color{blue}\bigstar$ CF1986G2，把 $(a_i,i)$ 分别除掉他们的 $\gcd$，此时设为 $(a_i,b_i)$。不妨考虑 $b_i\neq 1$ 的情况。那么 $(i,j)$ 满足条件 $\Leftrightarrow b_j\mid a_i,b_i\mid a_j$，枚举因数 计数即可。卡常！

7.10#

当天过题数：$1$。

生日就摆一点吧！

7.11#

当天过题数：$2$。

$\color{blue}\bigstar$ ARC158E，模拟赛题弱化版，改改就过了。

7.12#

当天过题数：$4$。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ Cookie Distribution，这题没想出来太唐了！
考虑把 $\prod c_i$ 拆成组合意义：即最后算每个人从他拿到的糖果中选一个的方案数。写出式子生成函数乱算，复杂度 $O(kn^2)$。

$\color{green}\bigstar$ Product of Arithmetic Progression，把 $d$ 提出来做完，唐！

$\color{#F1C40F}\bigstar$ Random Tournament，首先容易区间 dp+bitset 得到 $\text{poly}(n)/w$ 的做法。

记 $f_{i,j,k}$ 表示区间 $[i,j]$ 中 $k$ 能否胜出，则转移形如：$f_{i,j,k}\gets f_{i,w,k}\ \text{and}\ f_{w+1,j,K}(a_{k,K}=1)$。

考虑 $k$ 能在 $[i,j]$ 中胜出相当于啥？相当于 $k$ 能在 $[i,k]$ 中胜出，且 $k$ 能在 $[k,j]$ 中胜出，此时 dp 状态就只有边界情况了！

记 $L_{i,j}$ 表示 $i$ 能否在 $[i,j]$ 中胜出，$R_{i,j}$ 表示 $j$ 能否在 $[i,j]$ 中胜出，则转移：

$L_{i,j}\gets L_{k,j}\ \text{and}\ R_{i+1,k}\ \text{and}\ a_{i,k}(i<k\le j)$

$R_{i,j}\gets L_{k,j-1}\ \text{and}\ R_{i,k}\ \text{and}\ a_{j,k}(i\le k<j)$

显然交换 $L$ 两维：

$L'_{j,i}\gets L_{j,k}\ \text{and}\ R_{i+1,k}\ \text{and}\ a_{i,k}(i<k\le j)$

$R_{i,j}\gets L'_{j-1,k}\ \text{and}\ R_{i,k}\ \text{and}\ a_{j,k}(i\le k<j)$

这是容易 bitset 优化区间 dp 的，复杂度 $O(n^3/w)$。

$\texttt{code}$

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define fr(x) freopen(#x".in","r",stdin);freopen(#x".out","w",stdout);
using namespace std;
const int N=2005;
int n,s;string C;
bitset<N>L[N],R[N],a[N];
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);cin>>n;L[1][1]=R[1][1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		cin>>C;L[i][i]=R[i][i]=1;
		for(int j=1;j<i;j++) a[j][i]=(a[i][j]=C[j-1]-'0')^1;
	}
	for(int k=2;k<=n;k++)
		for(int i=1,j=k;j<=n;i++,j++)
			L[j][i]=(L[j]&R[i+1]&a[i]).any(),
			R[i][j]=(L[j-1]&R[i]&a[j]).any();
	for(int i=1;i<=n;i++) s+=L[n][i]&R[1][i];
	return cout<<s,0;
}

7.13#

打了 UOJ NOI Round #8 Day1。

当天过题数：$3$。

$\color{green}\bigstar$ uoj 887，UNR T1，观察到性质后就简单了。

$\color{blue}\bigstar$ uoj 888，赛事做到 80 pts 了，最后一个 $64$ 始终优化不掉，题解的做法还是很妙的。

$\color{green}\bigstar$ P10778，参考 P10075，判断是否存在 xor 为 $0$ 的部分写个线性基优化即可。值得注意的是这个幽默题。

7.14#

UNR Day 2 太困了去加睡了，有点太摆烂了。

当天过题数：$3$。

$\color{green}\bigstar$ P10777，简单的欧拉回路性质题。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ Card Collector，很深刻啊！最大生成基环树森林。

$\color{green}\bigstar$ XOR Partitioning，简单推式子题目，异或前缀和一下，观察性质写个 dp 做完了。

7.15#

当天过题数：$8$。

$\color{red}\bigstar$ AGC027E，经典题，妙妙 trick。

$\color{green}\bigstar$ qoj 5376，小清新好题！推销博客！第 $19$ 篇。

$\color{green}\bigstar$ P5349，简单 EGF 题。

$\color{green}\bigstar$ qoj 4278，推式子，询问按照 $a$ 排序，考虑一个 $a$ 的贡献，用这题 trick 即可。

$\color{blue}\bigstar$ qoj 4624，推式子部分简单，但是实现精细通过此题需要一点技巧。

$\color{green}\bigstar$ qoj 858，打表找规律，发现满足条件的 $\{a_i,a_j\}$ 只能是 $\{kd,(k+1)d\}$，调和级数枚举即可。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P5353，当后缀平衡树板子。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ qoj 4617，妙妙奇偶分治！

7.16#

飞去 CQ 参加 NOI，摆。

7.17#

当天过题数：$1$。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ CF1554E，妙妙题！注意实现细节。

7.18#

NOI Day 1，摆。

7.19#

当天过题数：$2$。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ CF757E，我不好评价是啥难度的题，因为我推假了。

$\color{green}\bigstar$ P5174，简单式子题，当放松心态了。

7.20#

摆。

7.21#

当天过题数：$1$。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P5348，好题。

7.22#

当天过题数：$4$。

$\color{green}\bigstar$ ThREE，简单构造题，按度数奇偶黑白染色是容易想到的。

$\color{green}\bigstar$ CF1114E，简单题，一发过了。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P10744，有思维量的题。

$\color{grey}\bigstar$ P10740，水题。

7.23#

当天过题数：$2$。

$\color{red}\bigstar$ AGC058B，双倍经验：P10741。写了 $O(n^2)$ 做法，给红是因为不会 $\text{poly}\log$ 处理这种格路计数题。

$\color{green}\bigstar$ CF1198C，不会做这种题应该感到羞耻。

7.24#

旅游。

7.25#

当天过题数：$2$。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ CF1270E，又是值域折半的套路，再积累一次。

$\color{green}\bigstar$ CF1105E，复习了最大独立集的 $O(2^{n/2})$ 做法。

7.26#

当天过题数：$2$。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P10806，显然先二分，然后直接左右贪心能 hack，要考虑反悔一格 $L$ 状态的情况，思考咋实现。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P10736，多想差分！差分完转化为 CF865D。

7.27#

当天过题数：$1$。

$\color{green}\bigstar$ CF56E，训这种题的意义在于：即使赛事想了复杂的做法，也要飞快写完这种难度的题。

7.28#

当天过题数：$7$。

$\color{green}\bigstar$ ABC364F，简单 Kruskal 题。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ ABC232H，很好的递归构造题。

$\color{green}\bigstar$ ABC233H，曼哈顿转切比雪夫，然后二分加主席树在线二维数点，很好的套路题。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ ABC234H，绝世好题。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ ABC237H，超级好题！注意到本质不同回文串不超过 $n$ 个，上个 Dilworth 定理 然后网络流做完。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P9481，关键在于类似 Floyd 处理第二类边。注意点细节就做完了。

$\color{green}\bigstar$ ABC238G，简单哈希，随机然后三进制异或做完了。

7.29#

当天过题数：$3$。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P10739，致敬传奇构造题！致敬传奇耐调往！What can I say？

$\color{red}\bigstar$ P5808，及其难写。

$\color{green}\bigstar$ CF342C，简单的结论题。

7.30#

当天过题数：$3$。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ ABC231H，很好的网络流题。

$\color{green}\bigstar$ CF547C，简单莫反题。

$\color{green}\bigstar$ CF1725E，枚举素数建出虚树随便算算即可。

7.31#

当天过题数：$5$。

$\color{green}\bigstar$ P3601，简单数学题。

$\color{blue}\bigstar$ ABC235H，很好的 Kruskal+树上背包+poly 题。

$\color{green}\bigstar$ ABC239H，其实是简单的整除分块+概率期望题，差点底力。

$\color{green}\bigstar$ ABC240G，简单数数题。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P10812，前缀和优化 dp，难点在于设计状态。