2024.5~6 训练日记

$\color{grey}\bigstar$ 可以秒杀的题。

$\color{green}\bigstar$ 思考一会儿后可以秒的题。

$\color{blue}\bigstar$ 需要较长时间思考的题。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ 看题解、稍加指点就会做的题。

$\color{red}\bigstar$ 看题解后需要较长时间消化，甚至现在都没有完全理解的题。

题目后面会写一点评价与感悟。按照 Linshey 意见，一套模拟赛算 $1$ 题。

日期范围：$5.19\sim 6.30$。总计过题：$116$。

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5.19#

当天过题数：$11$。

$\color{green}\bigstar$ P5164。

$\texttt{solution}$

简要题意：给定 $0\sim 2^n-1$ 这些点，对 $\forall i,j$ 满足 $|\text{popcount}(i)-\text{popcount}(j)|=1$ 连边。若这个图有欧拉回路则称 $n$ 为好数。

输入 $m$，输出 $[1,m]$ 的所有好数。

注意到有欧拉回路当且仅当每个点度数为偶数。考虑把所有 $\text{popcount}$ 相等的点缩成一个等价类 $S_i$，其中 $|S_i|=\dbinom{n}{i}$。

考虑 $S_k$ 中点的度数，应为 $\dbinom{n}{k-1}+\dbinom{n}{k+1}$。于是 $\forall 0\le k\le n,2\mid \dbinom{n}{k-1}+\dbinom{n}{k+1}$。

取 $k=n$ 得到：$2\mid \dbinom{n}{n-1}\Rightarrow 2\mid n$。

又得到：$\forall i\equiv j\pmod 2,\dbinom{n}{i}\equiv \dbinom{n}{j}\pmod 2$。

由于有 $\dbinom{n}{0}\equiv 1\pmod 2,\dbinom{n}{n-1}\equiv 0\pmod 2,2\mid n$，于是推出 $\forall k,\dbinom{n}{k}\equiv k+1\pmod 2$。

移项：$1\equiv \dfrac{1}{k+1}\dbinom{n}{k}\equiv \dfrac{1}{n+1}\dbinom{n+1}{k+1}\equiv \dbinom{n+1}{k+1}\pmod 2$。

于是 $\forall 1\le k\le n+1,2\nmid \dbinom{n+1}{k}$。

应用 Kummer 定理，有 $\forall 1\le k\le n+1,(n+1)-k$ 的二进制计算中不会退位。

于是 $n+1=2^m-1\Rightarrow n=2^m-2$。枚举输出即可，记得开 ull。

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$\color{green}\bigstar$ P5167，考虑从尾到头的 dp，由于 $\gcd,\text{and},\text{or}$ 的性质，会分成 $O(\log V)$ 个区间转移，由于 dp 没有单调性，线段树维护区间 dp 最大值即可，复杂度 $O(n\log n\log V)$。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P5165，记 $\mathbb{E}(i)$ 表示 $i\to 0$ 的期望步数，写出 $i$ 与 $i-1,i+1$ 的关系，推推式子即可。

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$\color{#F1C40F}\bigstar$ P5169，妙妙题！考虑 $u\to v$ 的一条路径的 xor 和应为其 dfs 生成树上路径 xor 和与树上若干环的 xor。

注意值域很小，用线性基求出 $S$ 表示若干环 xor 能表示的数的集合，记 $s_u$ 表示 $u$ 到根路径上的 xor 和。

记 $[x^t]f(x)=\sum\limits_{i=1}^n [s_i=t],[x^t]g(x)=[t\in S]$，则询问 $t$ 时的答案为 $[x^t]f\times f\times g$，其中乘法为 xor 卷积。做 FWT 即可。

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$\color{#F1C40F}\bigstar$ CF1188A2，解法请自行阅读题解。

$\color{green}\bigstar$ CF1658D2，考虑枚举所有可能 $x$，然后用 trie 数求下 $\text{xor}\ x$ 的最小最大值看是否为 $(l,r)$ 即可。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P5166，没想出这题太唐了。考虑连成的 deg，就是求区间入度为 $0$ 的点的个数，修改为区间入度 $+1$，线段树维护即可。

$\color{red}\bigstar$ ABC354G，考虑先把包含关系连边，连出传递闭包，然后欲求其最大权独立集合。考虑把每个点拆成左部点和右部点，原图中有连边的这里左向右连权值 $\infty$ 的边，$S\to i,i'\to T$ 连权值为 $a_i$ 的边，则答案为 $\sum a_i$ 减去最小割。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ AGC031D，写出前几项找规律，具体看题解。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P8633，polya 定理板题，枚举置换计算即可。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ ABC284H，前置题目：P4128，改下式子满足每一个数都要用到，推下容斥即可。注意这题是任意无向图不是完全图，应乘一些 $2$ 的幂次描述每个置换环都有/都没有边。

5.20#

当天过题数：$4$。

$\color{green}\bigstar$ P3766，随便推推式子，$k\ge 3$ 暴力，$k=2$ 时 $n$ 小的暴力，否则积分估计。

$\color{green}\bigstar$ ARC178C，想象把 $b$ 排序推个式子，做个种类数不大的背包即可。

$\color{green}\bigstar$ P10515，你怎么知道我不会求阶？太唐了。转化为求模素数阶，试除 $n-1$ 的质因子判断即可。

$\color{red}\bigstar$ CF346E，妙妙题，用类欧思想，请自行阅读题解。

5.21#

当天过题数：$2$。

$\color{green}\bigstar$ P3973，推推式子，转化为 P4174，CF1082G 这对双倍经验。

$\color{green}\bigstar$ CF809C，thuwc2024 T1 类似题目，请自行查看题解。

5.22-5.23#

生病。

过题数：$1$。

$\color{green}\bigstar$ P10517，五倍甚至四倍经验，圆方树板子题。

5.24#

当天过题数：$7$。

$\color{green}\bigstar$ ARC175D，简单题，考虑每个点处 LIS 和它父亲处的关系，打上 $0/+1$ 的 $\texttt{tag}$，转化成选若干 $siz$ 和 $=m$，注意到贪心的从大到小选一定优，构造随便构造一下就行。

$\color{green}\bigstar$ AGC020，简单 bitset 优化背包。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P10531，结论题，请自行阅读题解。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P10527，幽默结论题，请自行阅读题解。

$\color{green}\bigstar$ P7670，双倍，简单题，考虑如果 ? 个数很少，则枚举填 $0/1$ 即可，然后若 $0/1$ 的个数很少，可以考虑容斥加减子集/超集和即可。由于抽屉原理，复杂度为 $O(L2^L+Q2^{\lfloor L/3\rfloor})$。

$\color{green}\bigstar$ P3320，比昨天那个P10517还板。。。写这个纯纯为了博客找例题。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P5168，缝合题，单 $\log$ 做法唐了没想到，请自行阅读题解。

5.25#

当天过题数：$5$。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P10524，请自行阅读题解。

$\color{red}\bigstar$ CF1681F，这种套路见一次不会一次。详见博客。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P5571，注意到 $O(n^3)$ 的时间能过，只需优化空间，对面积做个值域分块即可。

$\color{red}\bigstar$ P7216，正解太难写了，写了乱搞。

$\color{green}\bigstar$ P2675，shaber 题，为了调整状态做的。

5.26#

当天过题数：$8$。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P5296，挺典的一个矩阵树转化用多项式当边权，难点在于实现？

$\color{#F1C40F}\bigstar$ ABC355F，经典的 MST 性质题。

$\color{red}\bigstar$ P3561，结论题，参考竞赛图强联通分量研究，但是味道香，耐调王。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P5934，结论题，能在最小生成树上当且仅当 $<L$ 的边加上后 $u,v$ 不联通，跑最小割即可，最大生成树同理。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P2757，CF452F 双倍经验。妙妙题，请自行阅读题解。

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$\color{#F1C40F}\bigstar$ CF1726E，感觉其实在能力范围内，但是差点底力。

$\texttt{solution}$

排列依然是考虑置换环。注意到除了大小为 $1,2$ 的置换换，只能有形如 $p(i)=j,p(i+1)=j+1,p(j)=i+1,p(j+1)=i$ 这样的四元置换环。相当于 $i,j$ 要恰有一个反着匹配。

首先记 $f_i$ 表示长度为 $i$，只能有 $1,2$ 元置换环的方案数，这时容易的，直接 $f_i=f_{i-1}+(i-1)f_{i-2}$ 递推即可。

然后枚举四元置换环个数 $i$，考虑此时 $f_{n-4i}$ 的系数。首先从 $n$ 个数中选 $2i$ 个相邻对，然后配成 $i$ 组，然后对对每组选定前后顺序。

从 $n$ 个数中选 $k$ 个相邻对，相当于在 $[1,n-1]$ 中选 $k$ 个不相邻的数。考虑两个之间的差，相当于选 $k$ 个正整数，使得除了第一个外其他都 $\ge 2$，且和不超过 $n-1$ 的方案数。

这是经典问题，枚举和，答案为 $\sum\limits_{i=0}^{n-1}\dbinom{i-(k-1)}{k-1}=\dbinom{n-k}{k}$。

配成 $i$ 组，然后对每组选定前后顺序。考虑从 $2i$ 个数中选 $i$ 个当左部点，对剩下 $i$ 个任意排列，即 $\dbinom{2i}{i}\times i!$。

于是 $ans=\sum\limits_{i=0}^{\lfloor n/4\rfloor} \dbinom{n-2i}{2i}\dbinom{2i}{i}i!f_{n-4i}$，复杂度线性。

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$\color{green}\bigstar$ P4370，简单题，看到前 $k$ 大直接上优先队列，考虑如何比较两个组合数，取 $\ln$ 即可，每次取出 $\dbinom{n}{m}$ 的时候加入 $\dbinom{n-1}{m}$ 即可。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ CF980E，我贪心想假了。钦定 $n$ 为根，正确的贪心是从大到小考虑选上的数，由于它选上了它到根上的所有点都必须选，于是若剩余足够直接贪心选取它到根的路径上所有点即可，单点加、到根的链和转化为子树加、单点值，树状数组维护即可。

5.27#

当天过题数：$2$。

$\color{green}\bigstar$ CF1416C，水的，建出 trie 数，按位考虑，做个归并排序然后每一位单独选最优的即可。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P8511，这题做不出来是绝对不应该的！考虑很多答案都是全局异或 $\max$，设构成全局 $\max$ 的两个点为 $u,v$，则只有 $u,v\to root=1$ 的路径上点答案有变化，对这每条链暴力加点，trie 树维护：插入、查询 $\text{xor}$ 一个数 $\max$ 即可。

5.28#

当天过题数：$2$。

$\color{green}\bigstar$ 任意基DFT。换基罢了。参考，我推的式子和这个大差不差。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ CF798D，牛牛构造题。

5.29#

当天过题数：$1$。

$\color{red}\bigstar$ P10283，困难题。

5.30#

当天过题数：$1$。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ CF1863F，困难的，先考虑立方区间 dp，然后考虑条件，转化为 highbit 相关，做到 $O(n^2)$。

5.31#

当天过题数：$5$。

$\color{green}\bigstar$ CF1268B，猜结论即可，证明回头再想。

$\color{green}\bigstar$ P4309，经典的排列 LIS 交换两维，用 rope 维护一下插入即可。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P4484，杨表板子（疑）？学习科技即可。

$\color{green}\bigstar$ loj 6051，推式子 $+\texttt{FFT}$，在了解杨表的情况下没啥难度。

$\color{green}\bigstar$ gym102538D，依然是会了杨表就会的题，没啥好说的。

6.1#

当天过题数：$7$。

vp thupc2024 决赛，ICPC2024 Xi'an I。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P10543，注意到最后情况为一条路径加若干散点，考虑钦定路径为最短路，考虑剩下点个数的奇偶性，正确性请自证。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P10541，注意到本题为P2762加上可研发的条件，把技术拆一遍点，和那题类似建图，自己思考一下咋连边跑最小割。

$\color{green}\bigstar$ P10548，要思考的挺多的，大概就是对于所有 $S$ 计算 $S$ 集合中所有行星共线的概率，然后子集反演容斥下。中间式子自己推咯，有个小 trick 就是只需判断所有行星是否和集合中的第一个行星共线。式子中有个 lcm 难处理，需要分解质因数算幂次。慢慢写吧，我赛时被创了。

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$\color{green}\bigstar$ P10554，shaber 题，注意到 $k<n$ 于是必有一行没选，枚举这行，然后跑 bitset 优化一下即可 $O(\frac{n^3}{w})$。

$\color{green}\bigstar$ P10556，对于每个 $a_i$ 枚举公差贡献即可，注意公差可能为 $0$，要特判 $i=1$，复杂度线性对数。

$\color{green}\bigstar$ P10562，注意 $a,b$ 很小，枚举，先出直线解析式，然后对边界情况暴力判断即可。

$\color{green}\bigstar$ P10558，简单博弈。

6.2#

当天过题数：$3$。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P5548，uoj#450 复读机加强版，请自行阅读题解。

$\color{green}\bigstar$ P4423，我是乱搞大神啊！随机旋转一定角度，然后按 $x\times y,x,y$ 分别排序，计算排序后下标距离小的几个点的周长即可。

$\color{green}\bigstar$ P6247，最有效率的一集，一样的乱搞方法直接过了。

6.3#

当天过题数：$7$。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P10559，需要对于根号分治做此类问题有很深刻的理解，对边定向，做到 $O(qB)$，其中 $B=10$。

$\color{green}\bigstar$ P10550，贪心一下，然后就是二维数点板子题。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P6788，推式子题，没啥好说的，建议学习一下 $O(n^{2/3})$ 的做法。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P6860，发现满足条件当且仅当 $(a,b)=1\and a\not\equiv b\pmod 2$，然后推一下式子杜教筛即可。

$\color{green}\bigstar$ P4988，推式子 $+\texttt{exBSGS}$，板子题。

$\color{green}\bigstar$ P6800，和前几天写的 任意基DFT 一样的。

$\color{green}\bigstar$ P6197，曾经是 shaber 卡常题，随便推推式子就行了，经典斐波那契状数列结论了。

6.4#

当天过题数：$2$。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P5271，牛子构造题，考虑 $k$ 维，每维四则运算 $\bmod p$ 的向量，寻找若干不同且没出现过的 $(\vec{x},\vec{v})$ 对，构造 $\{\vec{x}+k\vec{d}\}(0\le k<p)$ 即可。

$\color{green}\bigstar$ loj 6098，切比雪夫转曼哈顿板子题，没啥好说的。

6.5#

当天过题数：$2$。

$\color{green}\bigstar$ loj 6241，被 tag 诈骗了，唐唐。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P4233，竞赛图哈密顿回路这篇文章知识加上多项式推式子。

6.6#

当天过题数：$1$。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ loj 6358，很好的容斥 $+$ 二项式反演题，式子有点小难推。

6.7#

当天过题数：$1$。

$\color{red}\bigstar$ loj 6271，很好的单位根 $+$ 矩阵树题，使我的代码旋转。大晚上写这东西崩溃了。

6.8#

打了 The 3rd Universal Cup. Stage 1: St. Petersburg，场切的题都太水了，只看做 $1$ 题。

当天过题数：$2$。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ qoj 8790，很好的随机化题。

6.9#

当天过题数：$7$。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ CF1592E，枚举 $>$ 的最高位，注意到长度一定为偶数，观察性质即可。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ qoj 8781，赛事蠢蠢。考虑 bitset 预处理 $f_{i,j}$ 表示 $p_{i}<p_{i+j}$，然后需要维护连续 $m$ 个的 $\text{and}$，按 $m$ 分块，每块处理 $pre/suf$ 即可。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P10542，在面对这道题时脑子会莫名犯蠢，不知道为什么。写出 dp 式子后根号分治即可。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ ABC321G，很好的容斥题，不过多描述。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ CF1889D，很好的基环树思维题，注意到基环树的环是无用的，消环弹栈。

$\color{green}\bigstar$ qoj 8794，优美的构造题，限制比较死，建议自己思考。

$\color{green}\bigstar$ P6078，简单生成函数题，注意时空很小，算贡献即可。

6.10#

当天过题数：$5$。

$\color{green}\bigstar$ P9896，基础的 EGF 练习题，都到现在了当然得熟练这种手法了。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P4152，难点在于处理莫反后的式子，找到方法整除分块，正解的做法感觉上是有黑的，但很多人卡常假做法过了。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ uoj 62，很好的莫反推式子题，挺新颖的形式，值得总结一下。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ ABC317G，二分图完美匹配的结论好题啊，很好的套路。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ AGC012D，其实就一简单题，自己蠢了。

6.11-6.21#

备战中考。别问为啥做那么多题，考完那天做的。

打了 The 3rd Universal Cup. Stage 2: Zielona Góra，场切的题都太水了，只看做 $1$ 题。

过题数：$6$。

$\color{green}\bigstar$ P10597，生成函数水题。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P10588，借此题向神鱼请教了整式递推，这种题以后也要熟练掌握，题解。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P10636，难点在于找到优美的表示式子，我推的式子全部都是不可做的。找到后就很简单了。

$\color{green}\bigstar$ P10594，难点在于读懂题目，计算这个式子还是很简单的。

$\color{green}\bigstar$ P10640，不好评价这题，鉴定为 MO 题。

6.22#

中考完合法划水 $1$ 天。

6.23#

当天过题数：$2$。

$\color{green}\bigstar$ ABC359G，当做虚树练习题，练手新的虚树构建方式。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ loj 6044，很好的 prufer 序列计数题。

6.24#

当天过题数：$2$。

校内模拟赛 $\times 1$。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P10592，容斥的部分有点小文章。

6.25#

当天过题数：$6$。

vp The 2nd Universal Cup. Stage 28: Chengdu。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P9527，牛牛套路。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ AGC004D，小思维题。

$\color{red}\bigstar$ AGC015D，太困难了！

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P10591，很牛的容斥题啊！

$\color{#F1C40F}\bigstar$ CF1338E，gie 图好啊！

6.26#

划水 $1$ 天。

6.27#

当天过题数：$6$。

$\color{green}\bigstar$ P10648，简单启发式合并题。

$\color{red}\bigstar$ P7428，很深刻的题啊！

$\color{green}\bigstar$ P10643，和上题类似的，会了上面就能很快会这个题。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ CF949E，妙妙题。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P10647，P2088，P4404，P3419，SP688，五倍经验！妙妙贪心题。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ ARC105E，发现最后一定是 $1,n$ 分居两个完全图中，然后写出式子，分讨 $1,n$ 连通块大小奇偶性即可。

6.28#

当天过题数：$2$。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ CF303C，绝世好题。

$\color{green}\bigstar$ P7360，推式子好题！重要的是了解了 von Mangoldt function。

6.29#

打了 The 3rd Universal Cup. Stage 3: Ukraine，场切的题都太水了，只看做 $1$ 题。

当天过题数：$6$。

$\color{green}\bigstar$ CF165E，简单高维前缀和题。

$\color{green}\bigstar$ P10663，套路题。

$\color{red}\bigstar$ AGC009E，困难题。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ CF1982E，想到了就是妙妙题，我想更麻烦的方法了。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ P10598，网络流部分处理很新颖，计数部分纯粹是自己蠢了。

6.30#

当天过题数：$3$。

验数论题 $\times 1$。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ CF1144G，神秘构造题。

$\color{#F1C40F}\bigstar$ CF1693D，和上面那题有点类似，但有个分治做法很神仙啊！