AtCoder 竞赛典型 90 题，解题报告

提示：每题括号内的数字大致表示难度。

001 - Yokan Party（★4）

题意

有一个长度为 $L$ 的纸条。在 $N$ 个位置 $a_1,a_2,...,a_n$ 找 $K$ 个分割点，最大化最短段的长度。

$1 \le K \le N \le 10^5$，$0<a_1<a_2<...<a_n<L \le 10^9$。

解析

二分最短段的长度 $l$，贪心来强制每段 $\ge l$，检验是否能凑出 $\ge k+1$ 段。

代码：https://atcoder.jp/contests/typical90/submissions/35153678

002 - Encyclopedia of Parentheses（★3）

题意

按照字典序打印所有长度为 $n$ 的合法括号序列。

$1 \le n \le 20$。

解析

$n$ 是奇数就不输出，否则可以 DFS 解决。

代码：https://atcoder.jp/contests/typical90/submissions/35154547

003 - Longest Circular Road（★4）

题意

给定一棵 $n$ 个节点的树，加一条边使得构成的环包含点数最多。

$1 \le n \le 10^5$。

解析

这个问题等价于求树的直径。（即距离最远的两点的路径经过的点数）

两种解法：

1. 利用贪心的想法。先找到距离节点 $1$ 最远的点 $p$，再找到距离 $p$ 最远的点。执行两次 DFS 即可。
2. 假设点 $1$ 为根，对于每个节点 $x$，找到其子树中最长的两条能接上 $x$ 的链（不能有交点），把 $x$ 接上去计算答案。

代码：

• 做法一：https://atcoder.jp/contests/typical90/submissions/35394771
• 做法二：https://atcoder.jp/contests/typical90/submissions/35394830（这个做法本来是 $\mathcal{O}(n)$ 的，但是代码偷懒用了排序）

004 - Cross Sum（★2）

题意

给定一个 $H \times W$ 的矩阵，对于每个位置 $(i,j)$ 求出所有在第 $i$ 行或第 $j$ 列的元素和。 

$1 \le H,W \le 2000$，矩阵元素是 $[1,99]$ 间的整数。

解析

建立分别记录每行、每列元素和的数组，在输入的时候，就将每个数存入对应的位置，最后对于每个位置就可以 $\mathcal{O}(1)$ 查询。

代码：https://atcoder.jp/contests/typical90/submissions/35395190

005 - Restricted Digits（★7）

题意

（题目已运到 YZOJ 5970）

有多少个 $N$ 位十进制数，满足每位数字都在集合 $S$ 中，且它是 $B$ 的倍数？答案对 $10^9+7$ 取模。

任务一：解决 $N \le 10000, B \le 50$。

任务二：解决 $N \le 10^{18}, B \le 50$。

任务三：解决 $N \le 10^{18}, B \le 1000$。

集合 $S$ 内只有 $1 \sim 9$ 间的整数。

解析

对于任务一，我们设 $dp_{i,j}$ 表示目前已经确定 $i$ 位，当前数字除以 $B$ 余 $j$。直接转移是 $\mathcal{O}(NB^2)$ 的。

对于任务二，我们发现 $dp_{i,j}$ 只与 $dp_{i-1,k}$ 有关，而且第二维大小不超过 $50$，可以考虑矩阵加速。时间复杂度 $\mathcal{O}(B^3 \log N)$。

任务三尚待补充……

006 - Smallest Subsequence（★5）

题意

有一个长度为 $N$ 的小写字符串 $S$，请从中找到长度为 $K$ 且字典序最小的子序列 $T$。

$1 \le K \le N \le 10^5$。

解析

根据字典序的策略，只要能保证能凑满 $K$ 个字母，那尽可能要保证越靠前的字母，它越小。

所以假设当前我们将 $T_p$ 定为了 $S_q$，那么相当于剩余的 $N-q$ 字母，我们要挑 $K-p$ 个出来。

那么接下来要填的那个字母可能分布在哪里？在区间 $[N-q, \ N-q-(K-p-1)]$。这是因为我们要保证还没被挑的 $K-p-1$ 个字母有位置。

剩下的任务，就是在区间 $[N-q, \ N-q-(K-p-1)]$ 内找到最小的字母，同时保证它下标尽量小（为了让后面的挑选范围尽量大）。

这个任务可以使用多标记的线段树。标记存两个东西：区间最小的字母，以及它所在的原串下标（且是尽可能小的）。

细节就不多说了，可以看这份代码：https://atcoder.jp/contests/typical90/submissions/36932587

007 - CP Classes（★3）

题意

数轴上有 $n$ 个点 $a_1,a_2,...,a_n$，有 $q$ 个询问，每次输入一个位置 $x$，求出距 $x$ 最近的点到它的距离。

$N,Q \le 3 \times 10^5$，$0 \le a_i,x \le 10^9$。

解析

可以二分，也可以排序 + 双指针。注意边界情况。

代码：https://atcoder.jp/contests/typical90/submissions/36932727

008 - AtCounter（★4）

题意

给一个长为 $N$ 的小写字母串。求有多少个不同的子序列，等于 "atcoder"。

$N \le 10^5$。

解析

观察到 atcoder 这七个字母互不相同，可以设 $dp_{i,0/1/2/3/4/5/6}$ 代表枚举到第 $i$ 位且分别以 $a,t,c,o,d,e,r$ 结尾的字符串个数。

转移方程：$dp_{i,j}=\sum dp_{i-1,j-[t_j=s_i]}$。时间复杂度 $\mathcal{O}(n)$。

代码：https://atcoder.jp/contests/typical90/submissions/36932826

011 - Gravy Jobs（★6）

题意

有 $n$ 项工作。第 $i$ 项工作需要在第 $d_i$ 天及更早结束，一次耗时 $c_i$ 天（不能间断）。完成后可以获得报酬 $s_i$。

如果一个人一天只能做一项工作，请求出最大报酬。

$1 \le n,d_i,c_i \le 5000$，$1 \le s_i \le 10^9$。

解析

根据贪心策略，越早截止的工作，应尽早开始完成。所以我们先按照 $d_i$ 升序排序。

如果没有截止日期的限制，这就是一个背包问题（截止日期为容量）。

现在加上这个限制，由于工作已经被排序，我们可以认为每次新加入一个工作，背包就会被扩容。

然后就和普通的背包没什么区别了。

代码：https://atcoder.jp/contests/typical90/submissions/36933185

015 - Don't be too close（★6）

题意

给定 $n$。你将得到一个序列 $1,2,...,n$。对于每个 $x=1,2,3,...,n$，求出有多少个子序列满足序列内的元素两两相减绝对值均 $\ge x$。

答案对 $10^9+7$ 取模，$1 \le n \le 10^5$。

解析

如果直接动态规划，时间复杂度是 $\mathcal{O}(n^2)$ 的，过不了。那么考虑问题的组合数学意义！

对于每个 $x \ (x \ge 1)$：

• 我们枚举 $t=1 \sim \lfloor\frac{n}{x}\rfloor$ 代表子序列包含的元素个数。
• 容易发现会有 $(x-1)(t-1)$ 个空隙是不能填数字的，我们将其抽走，那么序列只剩 $n-(x-1)(t-1)$ 个位置，供这 $t$ 个数选取位置。
• 所以对于每个 $x$，答案即为 $\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}\binom{n-(x-1)(i-1)}{i}$。

由于 $\sum\limits_{i=1}^{+∞}\frac{n}{i}= \ln n$，因此预处理组合数的情况下，时间复杂度可以做到 $\mathcal{O}(n \ln n)$。

代码：https://atcoder.jp/contests/typical90/submissions/37983375

016 - Minimum Coins（★3）

题意

有三种面值的硬币 $A,B,C$。问最少多少个硬币可以支付恰好 $N$ 元。

$1 \le A,B,C,N \le 10^9$，答案 $\le 9999$。

解析

直接枚举 $A,B$，可以间接求出 $C$，然后比较答案。

代码：https://atcoder.jp/contests/typical90/submissions/38166776

019 - Pick Two（★6）

题意

有一个长为 $2n$ 的序列 $a_1,a_2,...,a_{2n}$。每次选中当前相邻的两个数 $a_i,a_{i+1}$，删除它们，代价是 $|a_i-a_{i+1}|$。

每次把两个数删除后，剩下的序列会拼在一起。问删光序列的最小代价和。

$n \le 200$，$a_i \le 10^6$。

解析

每次都是删除当前序列的两个相邻位置的数，那么如果原序列两个数正在被删除，就代表它们之间的数已经删光了。

所以可以上区间 DP。$dp_{i,j}$ 表示将序列子区间 $[i,j]$ 删空的最小代价。

$dp_{i,j}$ （$j-i+1$ 为偶数且大于等于 $4$）有两种构成方式：

• 将 $[i,j]$ 拆成两个偶数段，相加取最小值；
• 将 $[i+1,j-1]$ 拆成两个偶数段，相加，并加上 $|a_i-a_j|$ 取最小值。

如上转移即可。时间复杂度 $\mathcal{O}(n^3)$。

代码：https://atcoder.jp/contests/typical90/submissions/37984053

020 - Log Inequality（★3）

题意

比较 $\log_2 a$ 与 $b \log_2 c$ 的大小。

$1 \le a \le 9 \times 10^{18}$，$1 \le b \le 17$，$1 \le c \le 13$。

解析

两边变指数，分别变为 $a$ 与 $c^b$ 比大小。

代码：https://atcoder.jp/contests/typical90/submissions/38166870

025 - Digit Product Equation（★7）

题意

定义 $f(x)$ 表示 $x$ 十进制下每位数字的乘积（不含前导 $0$）。

求 $1 \sim N$ 有多少数 $x$ 满足 $x-f(x)=B$。

$1 \le N,B \le 10^{11}$。

解析

先枚举当前有几个数位。对于每个数位 DFS 一次。

看到这有人会问：这范围那么大，DFS 不会搜爆掉吗？OK，我们来分析一下怎么搜。

没有剪枝的时候，每个数位都有 $10$ 种可能，但实际上这会产生很大的效率浪费。

比如 $123,132,213,231,312,321$ 这六个数，它们的 $f(x)$ 均为 $6$。

然后 $B$ 是固定的，可以知道此时 $B+f(x)$ 已经被确定下来了。所以这 $6$ 个数最多只会有一个是符合条件的。

这个事情告诉我们，我们在搜索数字的时候，可以强制后面的数位大于等于前面的数位。

之后，我们需要判断，将当前的 $x$ 数位改变一些顺序，能不能使得它等于定值 $f(x)+B$。

此时不需要大费周章去全排列枚举，只需要将 $x$ 和 $f(x)+B$ 两数的数位分别升序排列，比较这两个序列相同情况就可以了。

注意判断数字是否在上界 $N$ 以内。

这个做法时间复杂度并不好计算，但是可以写个程序测试一下，可以发现这种方式生成的 $x$ 不到 $5 \times 10^5$ 个。

代码：https://atcoder.jp/contests/typical90/submissions/37100318

029 - Long Bricks（★5）

题意

一条直线按顺序有 $W$ 个位置，接下来天上会掉下来 $n$ 个横条形的俄罗斯方块。

第 $i$ 个方块占据了位置 $[L_i,R_i]$。根据俄罗斯方块规则，它会一直下落直到底面的某处碰到了地面或别的方块。

如果每个俄罗斯方块高为 $1$，请求出每个方块停止下落的时候，它所在的高度。

$1 \le L_i \le R_i \le W \le 5 \times 10^5$，$1 \le N \le 2.5 \times 10^5$。

解析

本题涉及到区间求 $\max$，区间修改，是个经典的线段树维护懒标记的题目。

由于这题比较模板，就不多说了，具体细节可以看代码：https://atcoder.jp/contests/typical90/submissions/38139303

030 - K Factors（★5）

题意

给定 $N,K$，$1 \sim N$ 有多少个正整数，它至少有 $K$ 个素因数？

$2 \le N \le 10^7$，$K \le 8$。

解析

两个做法：

• 埃氏筛法，每个质数向后跳倍数，时间复杂度 $\mathcal{O}(n \log \log n)$。
• 线性筛。记 $fac(i)$ 表示数字 $i$ 的最大素因子，设数字 $x$ 的质因子数为 $f(x)$，那么可以 $\mathcal{O}(n)$ 转移，如下：

$$f(x)=f(\frac{x}{fac(x)})+[fac(\frac{x}{fac(x)}) \neq fac(x)]$$

代码（第一种做法）：https://atcoder.jp/contests/typical90/submissions/38139369

039 - Tree Distance（★5）

题意

给定一棵 $n$ 个节点的树，树上的边边权均为 $1$，求树上两两节点距离之和。

$2 \le n \le 10^5$。

解析

这是一个经典的树上换根 DP 题。下面简述下解法：

• 第一步，用一次 DFS 遍历算出以 $1$ 号节点为根，到其它每个点的距离 $d(i)$，以及每个节点以自己为根的子树大小 $size(i)$。
• 设此时的距离和为 $S$。
• 第二步，换根。同样按照 DFS 遍历顺序，如果以前根为 $x$，此时根从 $x$ 换成 $y$。
• 对于$S$ 此时将变成 $S-size(y)+n-size(y)$。因为就 $y$ 及其子树而言，它到新根的距离都减少了 $1$；就子树 $y$ 以外的节点而言，它到新根的距离都增加了 $1$。
• 将每个点为根时的 $S$ 相加，就是答案。

注意 DFS 回溯时要还原信息。代码：https://atcoder.jp/contests/typical90/submissions/38139648

066 - Various Arrays（★5）

题意

见 YZOJ 5973。

有一个长度为 $n$ 的序列 $a_1,a_2,...,a_n$。其中 $a_i$ 将从 $[L_i,R_i]$ 区间中随机抽取一个整数作为它的值。

请求出整个序列的逆序对的期望数。

原题范围：$1 \le n \le 100$，$1 \le L_i \le R_i \le 100$。

加强版范围：$1 \le n \le 5000$，$R_i$ 在保证存在 double 内精度正常的情况下无特殊限制。

解析

由期望的线性性，整个逆序对的期望数，等于两两位置比较，产生的逆序对的期望数。

而所谓两两位置比较的逆序对，就是位置靠前的数大于位置靠后的数的概率！

所以先两两枚举下标 $i,j \ (i \le j)$，接着 $a_i,a_j$ 也逐个枚举，判断它们的大小，累加后除以总数即得到概率。

时间复杂度 $\mathcal{O}(n^4)$ 级别（$n$ 与 $a_i$ 同阶），通过前缀和优化可以达到 $\mathcal{O}(n^3)$。

对于加强版，我们就不能逐个枚举 $a_i,a_j$ 的值了，而是直接根据这两组 $[L_i,R_i], \ \ [L_j,R_j]$ 比较 $a_i>a_j$ 的概率。

此时要分六类讨论：

• $R_i < L_j$，易知概率为 $0$；
• $L_i > R_j$，易知概率为 $1$；
• $L_i \le L_j \le R_i \le R_j$，分开考虑区间 $[L_i,R_i]$ 与 $[L_j,R_j]$ 的相交片段的概率，和分离片段的概率。
• $L_j \le L_i \le R_j \le R_i$，同上一种情况。
• $L_j \le L_i \le R_i \le R_j$（$i$ 是 $j$ 的子区间）；
• $L_i \le L_j \le R_j \le R_i$（$j$ 是 $i$ 的子区间）。

此时时间复杂度 $\mathcal{O}(n^2)$。代码：https://atcoder.jp/contests/typical90/submissions/38141000