AtCoder Beginner Contest(ABC) 247 A~G 题解

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A - Move Right（Difficulty: 14）

Statement：将长度为 $4$ 的 01 串整体右移一位。

Solution：这个有什么好说的吗

Code：https://atcoder.jp/contests/abc247/submissions/30847456

B - Unique Nicknames（Difficulty: 202）

Statement：

• 给 $n$ 个人的姓、名，问是否每个人都有别人所没有的姓或名。
• $n \le 100$，记最大串长为 $s$，有 $s \le 10$。

Solution：

• 算法一：对于每一个人的姓名，对其他人逐个枚举判断，$\mathcal{O}(n^2s)$。
• 算法二：用 std::map 存每个人字符串，枚举的时候看看姓、名是否只有自己出现。时间复杂度 $\mathcal{n \log n}$，有大常数。
• 算法三：用 Trie 存下所有的姓名串，记录末尾节点的访问次数。时间复杂度 $\mathcal{O}(ns)$，空间复杂度$\mathcal{O}(26ns)$。

Code：https://atcoder.jp/contests/abc247/submissions/30852679

C - 1 2 1 3 1 2 1（Difficulty: 149）

Statement：

• 有一个初始序列 $[1]$。
• 现在进行 $n$ 次操作，第 $i$ 次操作将自己复制一遍，拼到末尾，正中间再插入一个数 $i$。
• 问 $n$ 次操作后的数列。$n \le 16$。

Solution：

• 没什么好说的，直接模拟即可，数组不要开小了。

Code：https://atcoder.jp/contests/abc247/submissions/30854775

D - Choose Me（Difficulty: 468）

Statement：

• 维护 $Q$ 次操作，操作分两种。
• 1. 队尾插入 $c$ 个权值均为 $x$ 的球。
• 2. 从队头取出 $c$ 个球，并输出这 $c$ 个球的权值和。
• $Q \le 200000, \ c,x \le 10^9$。

Solution：

• 像维护队列那样，找一个指针，记录当前正在取第几个操作放进去的球，以及这一批球剩几个。
• 时间复杂度 $\mathcal{O}(Q)$。

Code：https://atcoder.jp/contests/abc247/submissions/30859907

E - Through Path（Difficulty: 1256）

Statement：

• 有一个长度为 $n$ 的序列 $a_1,a_2,...,a_n$。
• 给出两个数 $x,y$，问区间最大值等于 $x$，最小值等于 $y$。
• $1 \le n,a_i,x,y \le 200000$。

Solution：

• 二分/双指针 + 线段树/ST表都是经典问题，可以快速解决，但是时间复杂度至少带个 $\log$，码量也大。代码点这里。
• 这里简单讲下 $\mathcal{O}(n)$ 且很好写的做法：
  • 从左到右枚举，对每个位置 $i$ 记录在自己以左，且分别等于 $x,y$ 的距离自己最近的位置 $u,v$。
  • 再记录自己以左且最近的大于 $x$ 或小于 $y$ 的位置 $w$。
  • 若 $\min(u,v)-w>0$，那么答案就累加 $\min(u,v)-w$。最后输出累加的和。

线性复杂度做法代码：https://atcoder.jp/contests/abc247/submissions/30895819

F - Cards（Diffyculty: 1697）

Statement：

• 有两个 $1 \sim n$ 的排列 $p_1,p_2,..,p_n$，$q_1,q_2,...,q_n$。
• 你可以选若干个下标 $a_1,a_2,...,a_m$，使得 $p_{a_1},q_{a_1},p_{a_2},q_{q_2},...,p_{a_m},q_{a_m}$ 构成的集合包含完整 $1 \sim n$ 的排列。
• 求方案数对 $998244353$ 取模的值。
• $n \le 200000$。

Solution：

• 我们按照 $p_i$ 大小把 $q_i$ 排序，这样 $p_i$ 变为 $1,2,...,n$，可以当下标用。设位置 $i$ 现在的值为 $c_i$
• 若 $c_i=i$，代表我们选了下标 $i$ 时只得到了 $i$。
• 若 $c_i \neq i$，相当于我们选下标 $i$ 时得到了 $i,c_i$ 两个值。
• 由于 $p,q$ 数组是两个排列，因此每个元素恰好会出现两次。
• 由于 $i$ 位置的值是 $c_i$，所以下标是 $c_i$ 的值肯定又指向了另一个数。不难发现，这样一直指下去一定会形成一个环。
• 那么这 $n$ 个值就被分割成了若干个大小不一的环。由于环与环之间是独立的，我们只要计算每个环的方案数，最后乘起来就可以。
• 问题可以转换成：$1,2,...,m$ 绕成一个环，有多少个选数方案使得每相邻两个位置至少被选了一个数。
• $m=1,2$ 时答案很显然，为 $1,3$。
• $m>2$ 时，假设我们从原来的环 $1,2,...,m-1$ 插入一个 $m$。
• 令环大小为 $m$ 的答案为 $f(m)$，那么有关系式 $f(m)=f(m-1)+f(m-2)$。
• 这个式子可以理解为 $1,2,...,m-1$ 的环插入元素 $m$，$m$ 选/不选得到的方案数和。读者可以自证一下。

Code：https://atcoder.jp/contests/abc247/submissions/30876626

G - Dream Team（Difficulty: 2159）

Statement：

• 有 $N$ 个人，每个人有两个属性 $a_i,b_i$，以及他的价值 $c_i$。
• 现在要从这 $N$ 个人中选择 $k$ 个人，要求这 $k$ 个人两两的 $a_i$ 不相同，两两的 $b_i$ 也不相同。
• 请问 $k$ 的最大可能值 $k_0$ 是多少？对于 $k=1,2,...,k_0$，求出恰好选择 $k$ 人所能得到的最大价值和。
• $N \le 30000$，$a_i,b_i \le 150$。

Solution：

• 很容易想到网络流。既然要每个 $k$ 都算答案，我们如果每次在初始的图上限流，跑 $k$ 次 MCMF 时间复杂度就炸了。
• 这时我们应该联想到 EK 算法是单线程求网络流的，可以理解为如果流入边限制为 $1$，那么 EK 算法每增广一次，最大流最多增加 $1$。
• 然后就可以用这个性质，只需要跑一次 MCMF 即可。
• 虽然时间复杂度上界是 $\mathcal{O}(fnm)=150^4$ 的（$f$ 是最大流，$n$ 是点数，$m=n^2$），但是卡不满，所以跑得非常快。

代码：https://atcoder.jp/contests/abc247/submissions/30893129