【AtCoder Beginner Contest 181】题解

题目颜色大致代表洛谷题目难度，点击各题标题可以跳转到原题。

A - Heavy Rotation

简化题意：给出正整数 $n$，如果 $n$ 是奇数输出 Black，否则输出 White，$n \le 30$。

题解：这题还要题解？

代码：https://atcoder.jp/contests/abc181/submissions/17780998

B - Trapezoid Sum

简化题意：

• 有 $n$ 次操作，每次将答案加上一个首项为 $A$，末项为 $B$ 且公差为 1 的等差数列，求最终的答案。
• $1 \le n \le 10^5$，$1 \le A \le B \le 10^6$。

题解：

• 每个等差数列项数为 $B-A+1$，根据已知数据套公式求和即可。
• 注意开 long long。
• 另外，使用差分算法也可以通过此题。

代码：https://atcoder.jp/contests/abc181/submissions/17784855

C - Collinearity

简化题意：

• 有 $n$ 个点，第 $i$ 个点坐标为 $(x_i,y_i)$，判断是否存在三点共线。
• $3 \le n \le 100$，$|x_i|,|y_i| \le 10^3$，任意两点坐标均不相同。

题解：

• 枚举任意三个点，先求出过前两点的直线的解析式，然后判断第三个点是否在这条直线上即可。
• 注意当前两个点横坐标相等时不存在斜率，因此要特殊判断（即判断三点横坐标是否均相等即可）。
• 计算过程可能会有误差，所以判相等时最好要给一段可以接受的判为正确的区间。

代码：https://atcoder.jp/contests/abc181/submissions/17794029

D - Hachi

简化题意：

• 给一个长度为 $s$ 的数字，判断这个数字在任意交换数位后是否存在一个可以被 $8$ 整除的数。
• $1 \le s \le 200000$，每位数字均在 $[1,9]$ 之间。

题解：

• 这题我一开始看错题，以为原数最大就是 $200000$，于是罚时+5min。
• 当然解法也不难，只要先确定这个数中是否存在 $1,2,...,9$ 这些数位。
• 一个很简单的结论：判断一个数是否是 8 的倍数，只需要判断它对 $10^3$ 取模的值是否是 $8$ 的倍数。
• 然后，枚举任选存在的 3 个数位，判断这 3 个数位能不能组成 $8$ 的倍数即可。
• 当然对于一位数和两位数要特判，因为自身无法构成三位数。

代码：https://atcoder.jp/contests/abc181/submissions/17800766

E - Transformable Teacher

简化题意：

• 有 $n$（$n$ 为奇数） 个小朋友和 $m$ 个老师，每个人都有自己的权值。
• 现在要选出 1 位老师给小朋友们上课，并将小朋友们两两分组。
• 请选出一个选老师和分组的方案，使得所有组两人权值之差的绝对值之和最小。

题解：

• 首先有如下常识：
  • 选出的老师一定和一个小朋友分成一组。
  • 若将 $k$ （$k$ 是偶数）个人分组，那么将每人权值排序，让第 1 个与第 2 个组队，第 3 个与第 4 个组队，以此类推的方案答案一定最小。
  • 对于每个方案中要与老师分配方案的小朋友，分到的老师一定是权值距离它最近的。
• 知道了这些，就可以开始规划做法：
  • 将每个老师、每个小朋友权值排序；
  • 建立一个特殊的前后缀和，记录每两个人权值差的 前/后 缀和；
  • 枚举每个小朋友与老师分组的情况，二分求出最适合该方案的老师；
  • 对于其余分组利用前后缀和方法直接得出答案
  • 特别地，若当前枚举到的小朋友权值从小到大是偶数，代表它前面和它后面的同学都未被分组，因此将这两个人在组成一组并记录答案。
  • 找到答案最小的一种情况，输出即可。
  • 时间复杂度 $O(n \log m)$。
• 比赛的时候把二分搞成 $n$ 为长度的了，罚时+10min。

代码：https://atcoder.jp/contests/abc181/submissions/17810832

F - Silver Woods

简化题意：

• 平面上有 $n$ 个点，现在你有一个半径待定的圆，且初始时圆心位于 $(-10^9,0)$。
• 你需要最大化圆的半径，且满足这个圆能穿通过移动，直到圆心到达 $(10^9,0)$。
• 在移动的过程中圆不能与直线 $y=100$ 或直线 $y=-100$ 相交，且任何时候这 $n$ 个点都不在圆内。
• $n \le 100$，$|x_i|,|y_i| \le 100$。

题解：

• 考场上没有想到，太可惜了。
• 首先，我们可以二分圆的半径 $r$。
• 我们把整个点阵看成一个图，如果两点间距离小于 $2r$ 那么这个圆就不能从它们之间通过。
• 然后枚举点与上下边界的关系，如果距离小于 $2r$ 一样不能通过。
• 如果整个并查集处理完毕后，若以直线 $y=100$，直线 $y=-100$ 在并查集代表的点中无法互相通过，那么说明存在一条合法通过路径。
• 此做法时间复杂度为 $O(n^2 \log n)$。