递归变递推

这个内容其实很简单。。。

我们会遇到一些递归题，递归过程很繁琐，无法条理清楚地分析。

这时，就有一个好东西：递推。

例子：

NOIP2018-PJ · 初赛：完善程序 T3：

#include <iostream>
using namespace std;
int n, m;

int findans(int n, int m) {
    if (n == 0) return m;
    if (m == 0) return n % 3;
    return findans(n - 1, m) - findans(n, m - 1) + findans(n - 1, m - 1);
}

int main(){
    cin >> n >> m;
    cout << findans(n, m) << endl;
    return 0;
}

输入：$\text{5  6}$

如果写成递归树，那估计一页纸都写不下。

那应该怎么办呢？

我们定义 $f_{i,j}$ 是 $\text{findans(i, j)}$ 的结果，那么会有一些显而易见的结论：

$f_{0, x} = x$，$f_{x, 0} = \text{x mod 3}.$

然后也可以得到一个递推式：$f_{i, j}=f_{i-1, j} - f_{i, j-1} + f_{i-1, j-1}$

然后我们就可以把所有的 $f_{i, j}$ 列成一个矩阵，递推出 $f(n, m)$ 即可。