前缀和与差分

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---算法简介

　　问题一：有 $n$ 个数，现在有 $m$ 个操作，分为两种类型：

　　　　1. 每一次要求将第 $k$ 个数加上 $a$；

　　　　2. 查询第 $k$ 个数字的值。

　　$1 ≤ k ≤ n ≤ 10^5$。

　　这一题其实用一个数组就可以维护。

 

　　问题二：有 $n$ 个数，并且有 $m$ 次操作，每一次操作要求查询第 $x$ 个数到第 $y$ 个数的和。

　　$1 ≤ x ≤ y ≤ n,m ≤ 10^7$。

　　如果用暴力或带 $\log$ 的算法做那么肯定是会 TLE 的，需要设计一个线性复杂度的算法。

　　令

$$S(i)=\sum_{i=1}^na_i$$

　　那么第 $x$ 到第 $y$ 个数的和就是 $S(y)-S(x-1)$。 

　　而 $S(i)=S(i-1)+a_i$，所以 $S(1)$ 到 $S(n)$ 可以在 $O(n)$ 的复杂度递推出来。

　　对于每次询问，便可 $O(1)$ 求出了。

 

　　问题三：有已赋值的 $n$ 个数，现在有 $m$ 个指令，第 $i$ 个指令要求将第 $x_i$ 个数到第 $y_i$ 个数的每个数加上 $k$，最后求所有数的值。

　　$1 ≤ x_i ≤ y_i ≤ n,m ≤ 10^7$，$1 \le k \le 10^9$。

　　我们也可以用与前缀和类似的方法解决此题。

　　令

$$f(i)=a_{i}-a_{i-1}$$
$$S(i)=\sum_{i=1}^nf_i$$

　　然后就会发现，对于 $1 \le i \le n$ 的正整数 $i$，均有 $S(i)=a_i$。

　　而当区间 $[x_i,y_i]$ 被加上相同的数时，$f$ 数组中只有 $f_{x_i}$ 和 $f_{y_i+1}$ 发生了改变。

　　所以每次让区间 $[x_i,y_i]$ 每个数加上 $k$ 后，把 $f_{x_i}$ 加上 $k$，$f_{y_i+1}$减去 $k$，最后使用前缀和时这个 $k$ 就可以覆盖整个区间而不重不漏。、

　　复杂度仍为 $O(n+m)$。 

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