压位高精度的写法

// 2020/06/10 修正 HTML 源码

// 2021/12/25 发现这篇随笔阅读量破千了，二次修正 HTML 源码，并做了相关补充

压位高精度的写法

对于单位高精度算法，那么有没有可以加速、节省空间的做法呢？

显然是有的。

以前，存数字数组里面只存着一个数字，所以加减都是一位一位地加，进位也是一位一位地实现。

所以，我们尝试着将数字序列从一位变成多位。

比如高精度加法：

• 如果压两位，我们就两位两位地存数字，运算时依然可以正常相加，但是相加的次数减半了；
• 进位时，只需要将进位的数字除以 $10^2$，加到下一位就可以了。

所以，如果我们压八位（保证 LL 存的下的情况），那么时空复杂度的常数是 $\frac{1}{8}$。

如，计算：$13134987124987+192837918479$。

普通高精度

Step 1：分离数位

  1  3  1  3  4  9  8  7  1  2  4  9  8  7
+       1  9  2  8  3  7  9  1  8  4  7  9

Step 2：逐位相加

  1  3  1  3  4  9  8  7  1  2  4  9  8  7
+       1  9  2  8  3  7  9  1  8  4  7  9
————————————————————————————————————————————
  1  3  2 12  8 17 11 14 10  3 12 13 15 16

Step 3：进位

  1  3  1  3  4  9  8  7  1  2  4  9  8  7
+       1  9  2  8  3  7  9  1  8  4  7  9
————————————————————————————————————————————
  1  3  3  2  7  8  2  5  0  4  3  4  6  6

　　所以答案为 $13327825043466$。

压位高精度

Step 1：分离数位

   13    1349     8712    4987
+        1928     3791    8479

Step 2：各部分相加

   13    1349     8712    4987
+        1928     3791    8479
————————————————————————————————
   13    3277    12503   13466

Step 3：进位

   13    1349     8712    4987
+        1928     3791    8479
————————————————————————————————
   13    3278     2504    3466

 得出的答案为 $13327825043466$，和普通高精度算出的结果是一样的。

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排坑

我们发现，有些数位进位之后会发生一些意想不到的结果：

例子：1598 + 9144

我们如果压 $4$ 位，结果是：

      1598
+     9144
————————————————
   1  0472

但是，这个 0472 如果直接输出，是 472，于是就 WA 了。

所以可以这么写：

printf("%.4d", a);

这句话的作用是如果 $a$ 不到 $4$ 位就把不到的位用 $0$ 填充后输出。

但是最高位所在的那段不能用 $0$ 填充，不然结果将出现前导 $0$。

所以比较好的做法，是先输出第一个数，再按照如上填充方式输出。

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2021 年 12 月更新

压位高精度在某些运算中会极大提高程序效率，比如高精度乘法。

题目：给定两个大正整数 $a,b$，输出 $a \times b$ 的值。

范围：$1 \le a,b \le 10^{50000}$。

若我们使用普通高精度，那么根据乘法分配率，我们要两两枚举 $a,b$ 的每一位并进行乘法，最后进位。

这么做的运算次数时 $50000^2$ 级别的，不优秀。

但如果我们压位（以压 $9$ 位为例），那么我们相当于把这个数字看作 $10^9$ 进制的数字，在这个进制下该数的位数最多为 $\frac{50000}{9}$。

然后可以对每个 $10^9$ 进制的数字两两运算，复杂度就降为 $\frac{50000^2}{9^2}$，是原来的几十分之一，在某些题目就能过掉更多的数据。

当然注意一些细节：

• $10^9 \times 10^9=10^{18}$，注意开 long long；
• 两个长度为 $p,q$ 的正整数相乘，结果位数是 $p+q$ 级别的，空间不要开小了！