博弈论小记

首先是经典的Nim游戏：

　　结论：先手必胜当且仅当石子数异或不为0

　　　　　先手必败当且仅当石子数异或为　0

　　证明：考虑特殊情况，首先当所有石子数

为0时显然先手必败。

　　考虑设所有石子数异或为x，设x最高位1为

k，那么至少存在一堆石子数包含第k位，根据异

或运算的消去律，使等式两侧同时异或x，右侧

为0，而由于a ^ x < a因此一定存在这种操作，

而后手对于异或为0的局面进行操作一定无法维

持这种局面，那么最终结果即为所有石子数为0

先手必胜

Nim游戏变形一：K-Nim游戏：

　　游戏规则改为每次可以对若干堆石子同时

进行操作，每次操作可以取1~x堆石子

　　结论：先手必胜当且仅当石子数%(x + 1)不为0

　　　　　先手必败当且仅当石子数%(x + 1)　为0

　　证明：同样的思维方式，考虑每次可以取x

堆石子，那么不妨假设两人的操作对象相同（即

两人在同一范围内进行博弈），考虑无论A的决

策是多少，B一定存在一种决策使得A，B两人取

石子总数为x +1，因此对于一堆成立，考虑先手

必败后先后手不变，先手必胜后先后手改变，设

先手必胜为1，先手必败为0，那么结论显然

　　例题：SDOI2011黑白棋

Nim游戏变形二：反Nim游戏：

　　游戏规则改为不能取石子的人获胜

　　结论：先手必胜：1：存在偶数堆石子且石子数为1　

　　　　　　　　　　2：至少存在一堆石子数大于1且石子数异或不为0

　　　　　先手必败：反之

　　证明：条件一显然

　　　　　条件二考虑：

　　若存在一堆石子数大于1，假设剩余奇数堆

石子数为1，那么显然可以将石子数大于1全部

取走（将先手必败局面给对方），若存在偶数

堆石子，仍然可以将石子数大于1取剩1个石子

同理

　　考虑若存在至少两堆石子数大于1，首先若

异或为0，那么只有两种决策：1：取走任意石子

转化为异或不为0　2：取走一堆大于1的石子（

先手必胜），若异或不为0，那么一定存在一种

决策转化为上一种局面，得证

　　证明思路很值得学习

Nim游戏变形三：阶梯博弈

　　游戏规则改为：若干阶梯上有若干石子，

每次选择任意阶梯将任意石子移动到下一层

不能操作者获胜

　　结论：先手必胜当且仅当奇数阶梯石子数异或不为0

　　　　　先手必败当且仅当奇数阶梯石子数异或　为0

　　证明：巧妙地转化

　　首先考虑奇数阶梯的结论显然，若对手操

作偶数阶梯，那么我方操作为将等量石子移动

到下一层阶梯，相当于偶数阶梯石子移动到另

一偶数阶梯，得证

　　（选择奇数阶梯的原因为0为偶数）

很多问题种并没有明显的“石子”，一种常用套路

为将距离，时间等转化为石子

　　例题：SDOI2019移动金币