回溯算法四：子集树、排列树以及组合优化
一、子集树
1、子集树：若一个组合问题的解释给定集合的子集，则解向量<x1, x2,...,xn>可以表示为分量取值为{0,1}的比特串，解空间可以组成一颗完全二叉树，称这棵搜索树为一棵子集树；
2、由于解向量的每个分量均取0或1，因此可以省略解集合处理过程；
3、子集问题示例，可以参考：回溯算法三：经典问题实现（m-着色、n-皇后、Hamilton回路、子集和）
二、排列树
1、把解向量是n个元素排列的组合问题的搜索树，称为排列树，将这类组合问题成为排列树问题；
2、由于排列树问题的特殊性，可以将n-叉完全二叉树简化，以提高效率；
3、简化步骤：
EXPLORE(P, K)
0 n = length(x)
1 if IS-COMPLATE(X) // 判断解向量是否完全
2 then flag = true // 若为完全解，则置解标志，输出解信息，并返回
3 PRINT-SOLUTION(X)
4 return // 需要分析，是否需要输出所有的完整解
5 if k > n // k为当前解向量长度，n为解向量的最大长度
6 then return // 若k>n,表示当前分支遍历完全且无解，直接返回
7
8 for i=(k,...,n) // 对当前第k个分量，逐一检测各种可能的取值
10 do x[k] <=> x[i] // 遍历x[k]的有效取值(非完全遍历)，且交换后，维持x的有效性
11 if IS-PARTIAL(x, k) // 确定是否为部分解
12 then EXPLORE(P, k+1) // 继续递归下一步探索过程
13 x[k] <=> x[i] // 还原x，继续进行for中的下一个排列
4、n-皇后问题示例如下：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
// x[i]表示每行棋子的列位置，k表示最新添加的棋子索引，即当前处理的第k行的棋子位置问题（k从0开始）
int isPartial(int n, int *x, int k)
{
int diff;
for (int i = 0; i < k; i++) {
// 判断新增的位置与历史位置是否满足规则：不同行、不同列、不同斜线
// 遍历判断新增棋子与之前棋子的位置差异
diff = x[i] - x[k];
// 列位置相同——同列；列号之差等于行号之差——对角线；遍历处理[0,k-1]行，不可能同行
if (diff == 0 || (diff == i - k) || (diff == k - i)) {
return 0;
}
}
return 1;
}
void swap(int *x, int k, int i)
{
int temp = x[k];
x[k] = x[i];
x[i] = temp;
}
// 递归过程，x与k同时变化，其他均为定值
void nQueensPlus(int n, int *x, int k)
{
int i;
// 完全解判断：k为当前解长度，n为完整解的最大长度
if (k >= n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
printf("%d ", x[i]);
}
printf("\n");
return;
}
// 递归遍历，回溯过程
for (int i = k; i < n; i++) {
// 针对x[k]的遍历值，取值范围为x[k,,,n]，有效减小搜索空间
swap(x, k, i);
// 判断部分解逻辑复杂，建议抽取函数
if (isPartial(n, x, k)) {
nQueensPlus(n, x, k + 1);
}
// 恢复x，进行下一轮
swap(x, i, k);
}
}
int main(void)
{
// n为棋盘规模，x为解向量空间，k为当前解的个数[0, n-1]
int n = 4;
int k = 0;
// 初始化解向量
int *x = (int*)malloc(n * sizeof(int));
for (int i = 0; i < n; i++) {
x[i] = i;
}
// n为棋盘规模，locations为棋盘位置集合（列），x为解向量空间，k为当前解的个数[0, n-1]
nQueensPlus(n, x, k);
while(1);
return 0;
}
三、组合优化
1、简要说明
（1）组合优化问题需要在解空间中找到最优者：在回溯过程中，需要跟踪目前为止最优合法解的目标值most，与当前搜索到的合法解current的目标值进行比较，确认是否需要更新most。
（2）可以利用当前最优值most，对不可能成为最优解的子树进行剪枝（isPartial步骤）。
2、旅行商问题
（1）问题描述：商人从n个城市中的一个出发，希望走遍每个城市且每个城市只经过一次，然后回到出发的城市。如果有这样的路径，要求找到里程最短的路径。（最短的Hamilton回路）
输入：带权无向图G=<V, E>，权函数w：E->R，起始点s。
输出：如果存在Hamilton回路，输出权值最小的路径，否则输出无解信息。
（2）分析过程：
（3）算法实现：
（4）测试结果：
