最长公共上升子序列 LCIS

最长公共上升子序列

题目

熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。
小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。小沐沐说，对于两个数列 A 和 B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。数列 A 和 B 的长度均不超过 3000。

输入格式

第一行包含一个整数 N，表示数列 A，B 的长度。
第二行包含 N 个整数，表示数列 A。
第三行包含 N 个整数，表示数列 B。

输出格式

输出一个整数，表示最长公共上升子序列的长度。

数据范围

1≤N≤3000,序列中的数字均不超过 2^31−1。

输入样例：

4
2 2 1 3
2 1 2 3

输出样例：

2

思路

根据闫氏DP分析法实现朴素代码

for(int i=1;i<=n;i++) {
	  for(int j=1;j<=n;j++) {
	    f[i][j]=f[i-1][j];
	      if(a[i]==b[j]) {
		int maxv=1;
                for(int k=1;k<j;k++) 
                    //if(b[j]>b[k]) maxv=max(maxv,f[i-1][k]+1);  //a[i]==b[j]所以可以改成a[i]>b[k]
                    if(a[i]>b[k]) maxv=max(maxv,f[i-1][k]+1);
                f[i][j]=max(f[i][j],maxv);
		}
	    }
	}

复杂度为O(n^3)次，复杂度太高，3000的数据会超时。
因为maxv是满足a[i]>b[j]条件下用到的是f[i-1]层，所以可以把maxv放到i层循环更新优化后复杂度为O(n^2)。

for(int i=1;i<=n;i++) {
	  int maxv=1;
	  for(int j=1;j<=n;j++) {
	    f[i][j]=f[i-1][j];
	    if(a[i]==b[j]) 
	      f[i][j]=max(f[i][j],maxv);
	    if(b[j]<a[i]) maxv=max(maxv,f[i-1][j]+1);
	  }
        }

代码

朴素做法O(n^3)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
typedef long long ll;
const int N=3010;
int f[N][N],a[N],b[N];
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	for(int j=1;j<=n;j++) cin>>b[j];
	for(int i=1;i<=n;i++) {
	  for(int j=1;j<=n;j++) {
	    f[i][j]=f[i-1][j];
	      if(a[i]==b[j]) {
		int maxv=1;
                for(int k=1;k<j;k++) 
                    if(a[i]>b[k]) maxv=max(maxv,f[i-1][k]+1);
                f[i][j]=max(f[i][j],maxv);
		}
	    }
	}
	int res = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res = max(res, f[n][i]);
	cout<<res<<"\n";
	// system("pause");
	return 0;
}

优化后O(n^2)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
typedef long long ll;
const int N=3010;
int f[N][N],a[N],b[N];
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	for(int j=1;j<=n;j++) cin>>b[j];
	for(int i=1;i<=n;i++) {
	  int maxv=1;
	  for(int j=1;j<=n;j++) {
	    f[i][j]=f[i-1][j];
	    if(a[i]==b[j]) 
	      f[i][j]=max(f[i][j],maxv);
	    if(b[j]<a[i]) maxv=max(maxv,f[i-1][j]+1);
	  }
        }
	int res = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res = max(res, f[n][i]);
	cout<<res<<"\n";
	// system("pause");
	return 0;
}