最长公共上升子序列 LCIS
最长公共上升子序列
题目
熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。
小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列,再让他们研究了最长公共子序列,现在又让他们研究最长公共上升子序列了。小沐沐说,对于两个数列 A 和 B,如果它们都包含一段位置不一定连续的数,且数值是严格递增的,那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列,而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。奶牛半懂不懂,小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。不过,只要告诉奶牛它的长度就可以了。数列 A 和 B 的长度均不超过 3000。
输入格式
第一行包含一个整数 N,表示数列 A,B 的长度。
第二行包含 N 个整数,表示数列 A。
第三行包含 N 个整数,表示数列 B。
输出格式
输出一个整数,表示最长公共上升子序列的长度。
数据范围
1≤N≤3000,序列中的数字均不超过 2^31−1。
输入样例:
4
2 2 1 3
2 1 2 3
输出样例:
2
思路
根据闫氏DP分析法实现朴素代码
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++) {
f[i][j]=f[i-1][j];
if(a[i]==b[j]) {
int maxv=1;
for(int k=1;k<j;k++)
//if(b[j]>b[k]) maxv=max(maxv,f[i-1][k]+1); //a[i]==b[j]所以可以改成a[i]>b[k]
if(a[i]>b[k]) maxv=max(maxv,f[i-1][k]+1);
f[i][j]=max(f[i][j],maxv);
}
}
}
复杂度为O(n^3)次,复杂度太高,3000的数据会超时。
因为maxv是满足a[i]>b[j]条件下用到的是f[i-1]层,所以可以把maxv放到i层循环更新优化后复杂度为O(n^2)。
for(int i=1;i<=n;i++) {
int maxv=1;
for(int j=1;j<=n;j++) {
f[i][j]=f[i-1][j];
if(a[i]==b[j])
f[i][j]=max(f[i][j],maxv);
if(b[j]<a[i]) maxv=max(maxv,f[i-1][j]+1);
}
}
代码
朴素做法O(n^3)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
typedef long long ll;
const int N=3010;
int f[N][N],a[N],b[N];
int main()
{
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
for(int j=1;j<=n;j++) cin>>b[j];
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++) {
f[i][j]=f[i-1][j];
if(a[i]==b[j]) {
int maxv=1;
for(int k=1;k<j;k++)
if(a[i]>b[k]) maxv=max(maxv,f[i-1][k]+1);
f[i][j]=max(f[i][j],maxv);
}
}
}
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res = max(res, f[n][i]);
cout<<res<<"\n";
// system("pause");
return 0;
}
优化后O(n^2)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
typedef long long ll;
const int N=3010;
int f[N][N],a[N],b[N];
int main()
{
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
for(int j=1;j<=n;j++) cin>>b[j];
for(int i=1;i<=n;i++) {
int maxv=1;
for(int j=1;j<=n;j++) {
f[i][j]=f[i-1][j];
if(a[i]==b[j])
f[i][j]=max(f[i][j],maxv);
if(b[j]<a[i]) maxv=max(maxv,f[i-1][j]+1);
}
}
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res = max(res, f[n][i]);
cout<<res<<"\n";
// system("pause");
return 0;
}
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