初等数论及其应用P122 4.3 T15 学习笔记

问题：
证明同余方程组
\(x \equiv a1(mod \ m1)\)
\(x \equiv a2(mod \ m2)\)
有解当且仅当\((m1,m2)|(a1-a2)\).证明:若有解,则解模\([m1,m2]\)唯一.
解法：
解法（人话，也许错误很多）：
设\(x=m1k+a1=m2k1+a2\)
\(m1k-m2k1=a2-a1\)
所以\((a2-a1)|(m1,m2)\)才有解
（\(d=(a,b)\)，若\(d|c\)则\(ax+by=c\)有无穷多个整数解，否则无解）
\(k=k0+\frac{m2}{(m1,m2)}t\)，\(k0\)是一个解
（搞一堆奇怪的东西，当作k有解
代入得\(m1(k0+\frac{m2}{(m1,m2)}t)-k2m2=a2-a1\)
\(m1k0-k2m2=a2-a1-[m1,m2]t\)
明显\((a2-a1-[m1,m2]t)|(m1,m2)\),所以k0有解）
\(x=a1+km1=a1+(k0+\frac{m2}{(m1,m2)}t)m1=a1+k0m1+[m1,m2]t=x1+[m1,m2]t\)
\(x \equiv x1(mod \ [m1,m2])\)