电路理论基础

电路理论基础

[电路理论基础].梁贵书.扫描版(ED2000.COM).pdf

书名	作者	出版社	阅读日期
电路理论基础	梁贵书、董华英	中国电力出版社	2020年10月8日

前提

理论类书籍通常都是由浅入深的讲解，从一个最简单的特例作为引子，再引申为更普遍的结论。这篇笔记里不对特例结论进行记载，直接记录普遍结论。

基本概念

电路理论有两个组成部分

1. 电路分析：给定激励求响应
2. 电路方法：实现响应搭电路

电的物理量

电流、电压、电荷、磁链、功率、能量

基尔霍夫定律

1. KCL：节点电流代数和为零

2. KVL：回路电压代数和为零

图论

• 回路：每个节点连接2条支路
• 树：连通，包含所有节点，不含回路
• 割集：将图割成两个子图的一组最少支路

稳态电路分析方法

名称	简介	备注	优点	缺点
2b分析法	(n-1)个KCL+(b-n+1)个KVL+b个VAR=2b个方程	n:节点数 b:支路数	列方程简单，能求出所有节点、支路、元件的各个参数	有的时候只需要求解某一路或某几路的参数，计算过于繁琐
等效变换法	拥有相同VAR关系的等效网络间的变换	如电源模型等效变换	化简电路，方便求解	需要经验和灵感
支路分析法	(n-1)个KCL+(b-n+1)个KVL结合VAR=b个方程或(b-n+1)个KVL+(n-1)个KCL结合VAR=b个方程	将2b分析法中的b个VAR结合到了KCL或KVL中	方程数比2b少了一半
节点分析法	(n-1)个节点电压方程\(\boldsymbol G_n\boldsymbol u_n=\boldsymbol I_n\)	记忆\(G_{ii}G_{ij}i_{sii}\)的含义	便于计算机编程计算	需要一定的记忆量
网孔分析法	(b-n+1)个网孔电流方程\(\boldsymbol R_n\boldsymbol i_n=\boldsymbol U_n\)	记忆\(R_{ii}R_{ij}u_{sii}\)的含义	和节点分析法对应	需要一定的记忆量
回路分析法	(b-n+1)个回路电流方程	网孔分析法的推广，记忆\(R_{ii}R_{ij}u_{sii}\)的含义	能用于非平面电路	寻找回路较为抽象
改进节点分析法	\(\begin{bmatrix}\boldsymbol G_n&\boldsymbol B\\\boldsymbol C& \boldsymbol D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol u_n\\\boldsymbol i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol I_S\\\boldsymbol U_S\end{bmatrix}\)n+m-1个方程，m为附加电流变量数目	记忆\(\boldsymbol G_n\boldsymbol B\boldsymbol C\boldsymbol D\boldsymbol I_S\boldsymbol U_S\)的含义	适用于各种电路	记忆量大

常用等效变换

1. 星形网络和三角网络变换\(R_{ij}=\frac{R_iR_j+R_iR_k+R_jR_k}{R_k}\) \(R_i=\frac {R_{ij}R_{ik}}{R_{ij}+R_{ik}+R_{jk}}\)

​ 2.电源位移

电路定理

• 线性电路特性：

  1. 叠加：总响应等于各个激励单独作用时的响应之和。不作用的电压源短路，电流源开路。
  2. 齐性：激励和响应同时放大缩小相同倍数仍成立。
  3. 戴维南：二段网络等效为电压源串电阻。开路电压、等效电阻与端口u,i的关系式。
  4. 诺顿：二段网络等效为电流源并电阻。短路电流、等效电阻与端口u,i的关系式。
  5. 互易：仅含电阻的单一激励电路，激励和响应互换位置仍然成立。三种形式：电流源和短路电流，电压源和开路电压，电压源换短路电流、电流源换开路电压。

• 也适用于非线性电路定理：

  1. 替代：支路上的无耦合元件可以用等于该支路电压/电流的电压源/电流源替代。
  2. 特勒根：第一定理本质是能量守恒，提供功率和等于消耗功率和，电路的支路电压和支路电流的乘积代数和为零。第二定理比较有意思。两个拓扑结构一样的电路,一个电路的支路电压（电流）和另一个电路对应支路的电流（电压）乘积代数和也为零。
  3. 对偶：对偶元素全部互换仍成立。

双口网络

双口网络常用类型

• 开路电阻

  \[\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}R_{11}&R_{12}\\R_{21}&R_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_1\\i_2\end{bmatrix}$$ $R_{ii}=\frac {u_i}{i_i}|_{i_j=0}$ $R_{ij}=\frac {u_i}{i_j}|_{i_i=0}$ \]
  \[\begin{bmatrix}i_1\\i_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G_{11}&G_{12}\\G_{21}&G_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix}$$ $G_{ii}=\frac {i_i}{u_i}|_{u_j=0}$ $G_{ij}=\frac {i_i}{u_j}|_{u_i=0}$ \]
  \[\begin{bmatrix}u_1\\i_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_2\\-i_2\end{bmatrix}=\boldsymbol T\begin{bmatrix}u_2\\-i_2\end{bmatrix} \]

  \(A=\frac {u_1}{u_2}|_{i_2=0}\) \(B=\frac {u_1}{-i_2}|_{u_2=0}\) \(C=\frac {i_1}{u_2}|_{i_2=0}\) \(D=\frac {i_1}{-i_2}|_{u_2=0}\)

• 混合

  \[\begin{bmatrix}u_1\\i_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_1\\u_2\end{bmatrix}=\boldsymbol H\begin{bmatrix}i_1\\u_2\end{bmatrix} \]

  \(h_{11}=\frac {u_1}{i_1}|_{u_2=0}\) \(h_{12}=\frac {u_1}{u_2}|_{i_1=0}\) \(h_{21}=\frac {i_2}{i_1}|_{u_2=0}\) \(h_{22}=\frac {i_2}{u_2}|_{i_1=0}\)

  \[\begin{bmatrix}i_1\\u_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}h^\prime_{11}&h^\prime_{12}\\h^\prime_{21}&h^\prime_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\i_2\end{bmatrix}=\boldsymbol H^\prime\begin{bmatrix}u_1\\i_2\end{bmatrix} \]

  \(\boldsymbol H^\prime=\boldsymbol H^{-1}\)

  双口网络参数矩阵互换表

双口网络连接

• 级联：1输出接2输入。采用传输参数分析，\(\boldsymbol T=\boldsymbol T_1\boldsymbol T_2\cdots\boldsymbol T_n\) 、
• 串联：输入输出分别串接。\(\boldsymbol R=\boldsymbol R_1+\boldsymbol R_2+\cdots+\boldsymbol R_n\)
• 并联：输入输出分别并联。\(\boldsymbol G=\boldsymbol G_1+\boldsymbol G_2+\cdots+\boldsymbol G_n\)

运放端口特性

\(u_o=A(u_+-u_-)\)

运放基本应用不在本书总结，会在其他随笔中做总结

回转器

\[\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-r\\r&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_1\\i_2\end{bmatrix} \]

可以将一个端口的电流（电压）转为另一个端口的电压（电流），可以将一个端口的电容（电感）转为另一个端口的电感（电容）

动态线性电路分析

n阶电路输入输出方程（n为电路中独立储能源元件数目）：

\[a_n\frac {d^ny(t)}{dt^n}+a_{n-1}\frac {d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}+\cdots+a_1\frac {dy(t)}{dt}+a_0y(t)=f_s(t) \]

换路：电源的接通和切断，电路参数的突然变化，电路结构的改变。

换路定则：电容电流（电感电压）为有限值时，电容上的电荷和电压（电感上的电流和磁链）不能跃变。

初始响应求解步骤：

• 根据换路前稳态电路求出\(u_C(0_-)\text 和i_L(0_-)\)
• 根据换路定则和\(t=0^+\)时刻电路响应

全响应

自由响应：在有损电路中也叫暂态响应

强迫响应：输入为常数或周期函数时也叫稳态响应

过渡过程求解步骤：

• 求初始响应
• 求强破响应（特技）
• 求自由响应（通解），需要使用常微分方程相关知识
• 全响应=强迫响应+自由响应

三要素法：对应一般一阶电路，求得初始值、稳态值和时间常数可以直接得出全响应方程

\[y(t)=y_p(t)+[y(t_{0+})-y_p(t_{0+})]e^{-\frac {t-t_{0+}}\tau} \qquad (t\geqslant t_{0+}) \]

全响应也可以表示为：全响应=零输入响应+零状态响应

特殊零状态响应

• 阶跃函数\(\varepsilon(t)\)：用来表征电路中的开关动作

• 冲激函数\(\delta(t)\)：筛选函数瞬间值,冲激响应可以使电容电压和电感电流跃变

• 冲激响应为阶跃响应的导数

卷积

\(u_s(t)\otimes h(t)=\int_{0_-}^tu_s(\tau)h(t-\tau)d\tau\)

卷积满足交换律

状态方程

\(\boldsymbol y=\boldsymbol C\boldsymbol x+\boldsymbol D\boldsymbol u\) \(\boldsymbol y\)为输出向量，对于\(n\)个状态变量，\(m\)个输入，\(l\)个输出的电路。\(\boldsymbol C\)为\(l\times n\)的矩阵，\(\boldsymbol D\)为\(l\times m\)的矩阵。

直观法列写多阶线性时不变电路状态方程的步骤：

• 选取独立电容电压和独立电感电流为状态量
• 对每个独立电容，选用一个节点或割集；对每个独立电感，选用一个回路
• 将方程中输入以外的非状态变量用状态变量和输入表示

正弦稳态电路分析

相量：描述了正弦量三要素中的振幅和初相，不包含频率信息

相量运算特性：唯一性，线性，微分\(ph[\frac{d^ni(t)}{dt^n}]=(j\omega)^n\dot {\boldsymbol I}\)，积分\(ph[\int\cdots\int i(t)dt\cdots dt]=\frac 1{(j\omega)^n}\dot{\boldsymbol I}\)

平均功率\(P=UI\cos\theta\) \(\theta=\varphi_u-\varphi_i\) 无功功率\(Q=UI\sin\theta\)

视在功率\(S=UI\) 功率因数\(\cos\theta\) 复功率\(\tilde{S}=P+jQ=S\angle\theta\)

相量分析法：使用几何知识求解电路正弦网络函数

正弦网络函数：\(A_u(j\omega)\)、\(A_i(j\omega)\)、\(Y_T(j\omega)\)、\(Z_T(j\omega)\)

频率特性曲线：幅频特性曲线、相频特性曲线

通频带BW：幅值大于最大值\(\frac 1{\sqrt2}\)的部分的频率范围,截止频率（转折频率）\(\omega_c\)

谐振与互感

谐振内容见电磁学相关内容

互感：电流从同名端流入，互感为正。耦合系数\(k=\frac M{\sqrt{L_1L_2}}\)

互感电路分析：

• 互感消除：仅有二端和三端耦合电感的电路
• 回路分析
• 反映阻抗法：适用于变压器

三相电路

三组频率相同，相位差120°的交流系统

• Y接法：\(\boldsymbol I_l=\boldsymbol I_{ph}\) \(\boldsymbol U_l=\sqrt3\boldsymbol U_{ph}\angle30^\circ\)

• \(\triangle\)接法：\(\boldsymbol U_l=\boldsymbol U_{ph}\) \(\boldsymbol I_l=\sqrt3\boldsymbol I_{ph}\ang-30^\circ\)

非正弦周期信号分析

傅里叶展开：\(f(t)=A_0+\sum_{k=1}^\infty A_{km}\sin (k\omega t+\theta_k)\) A₀为直流分量

谐波分析法：通过傅里叶展开后再由叠加原理叠加

周期性非正弦三相电中的6k+1次谐波组成正序，6k+5组成负序，6k+3组成零序，偶数次谐波都为0

非线性电路分析

PN结二极管低频下可以视为非线性电阻 \(i=I_S(e^{u/U_T}-1)\)

N形负阻、S形负阻

静态电阻和动态电阻(电阻变化率)

DP图图解法：将两个或多个非线性元件特性曲线进行叠加

静态工作点：DP图的交点

小信号分析法：在静态工作点附近使用泰勒级数展开，省略二次项。

\[\begin{cases} \triangle i(t)+\triangle i_R(t)=0\\ \triangle u(t)-\triangle u_R(t)=0\\ \triangle u(t)=R\triangle i(t)+u_s(t)\\ \triangle u_R(t)=R_{dQ}\triangle i_R(t) \end{cases} \]

小信号电路于原电路有相同结构，差别在于把直流电源置零，非线性电阻用直流工作点处动态电阻代替

分段线性法：将特性曲线分段，每段都为线性特征，分别求解，可以使用动态路径法

线性动态电路复频域分析

主要思想是把时域的积分微分方程转化为s域的代数方程，方便运算，再将运算结果反变换还原为时域方程

拉氏变换的性质：

• 唯一性

• 线性

• 时域微分性质：\(\mathscr{L}[\frac {d^nf(t)}{dt^n}]=s^nF(s)-s^{n-1}f(0_-)-s^{n-2}f^\prime(0_-)-\cdots -f^{(n-1)}(0_-)\)

• 时域积分性质：\(\mathscr{L}[\int^t_{0_-}f(\tau)d\tau]=\frac {F(s)}s\)

• 时域位移性质：时域位移后，象函数多一项因子\(e^{-st_0}\)

• 频域位移性质：\(\mathscr{L}[f(t)e^{-at}]=F(s+a)\)

• 卷积定理：\(\mathscr{L}[u_s(t)\otimes h(t)]=U_s(s)\cdot H(s)\)

时域经过拉式变换后，会将象函数化简为常用函数的象函数中的有的象函数形式，其中，让分母为零的点为极点，分子为零的点为零点。

运算电路：将时域模型替换为s域模型

复频域的网络函数中，极点为电路固有频率，零点为输出为零的点。

电路代数方程矩阵形式

基本概念：

• 关联矩阵：节点电流写出来的矩阵\(\boldsymbol A_a\)

• 基本回路矩阵：回路电压写出来的矩阵\(\boldsymbol B_f\)

• 基本割集矩阵：割集包含支路写出来的矩阵\(\boldsymbol Q_f\)

• \(\boldsymbol {AB}^T_f=\boldsymbol 0 \qquad \boldsymbol Q_f\boldsymbol B_f^T=\boldsymbol 0\)

• \(\boldsymbol A=[\boldsymbol A_l \quad \boldsymbol A_t],\boldsymbol B=[\boldsymbol 1_l \quad \boldsymbol B_t],\boldsymbol Q_f=[\boldsymbol Q_l \quad \boldsymbol 1_t]\)

• 支路方程：

  \[\boldsymbol {\dot I}_b=\boldsymbol Y_b\boldsymbol {\dot U}_b+\boldsymbol Y_b\boldsymbol {\dot U}_s-\boldsymbol {\dot I}_s\\ \boldsymbol {\dot U}_b=\boldsymbol Z_b\boldsymbol {\dot I}_b+\boldsymbol Z_b\boldsymbol {\dot I}_s-\boldsymbol {\dot U}_s\\ \boldsymbol M\boldsymbol {\dot I}_b+\boldsymbol N\boldsymbol {\dot U}_b=\boldsymbol {\dot U}_s+\boldsymbol {\dot I}_s \]

分析方法：

• 节点电压：

  \[\boldsymbol Y_n=\boldsymbol A\boldsymbol Y_b\boldsymbol A^T\\ \boldsymbol {\dot J}_n=\boldsymbol A\boldsymbol {\dot I}_s-\boldsymbol A\boldsymbol Y_b\boldsymbol {\dot U}_s\\ \boldsymbol Y_n\boldsymbol {\dot U}_n=\boldsymbol {\dot J}_n \]

• 回路电流：

  \[\boldsymbol Z_l=\boldsymbol B_f\boldsymbol Z_b\boldsymbol B_f^T\\ \boldsymbol {\dot U}_l=\boldsymbol B_f\boldsymbol {\dot U}_s-\boldsymbol B_f\boldsymbol Z_b\boldsymbol {\dot I}_s\\ \boldsymbol Z_l\boldsymbol {\dot I}_l=\boldsymbol {\dot U}_l \]

• 割集电压：

\[\boldsymbol Y_t=\boldsymbol Q_f\boldsymbol Y_b\boldsymbol Q_f^T\\ \boldsymbol  {\dot J}_t=\boldsymbol Q_f\boldsymbol  {\dot I}_s-\boldsymbol Q_f\boldsymbol Y_b\boldsymbol  {\dot U}_s\\ \boldsymbol Y_t\boldsymbol  {\dot U}_t=\boldsymbol  {\dot J}_t \]

• 稀疏表格法：2b+n个变量的矩阵

\[\text {KCL:}\boldsymbol {A{\dot I}}_b=\boldsymbol 0\\ \text {KVL:}\boldsymbol {\dot U}_b-\boldsymbol {A^T{\dot U}}_n=\boldsymbol 0\\ \boldsymbol M\boldsymbol {\dot I}_b+\boldsymbol N\boldsymbol {\dot U}_b=\boldsymbol {\dot U}_s+\boldsymbol {\dot I}_s \]

​ 合并为:

\[\begin{bmatrix}\boldsymbol A&\boldsymbol 0&\boldsymbol 0\\ \boldsymbol 0&\boldsymbol 1& -\boldsymbol A^T\\ \boldsymbol M&\boldsymbol N&\boldsymbol 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol {\dot I}_b\\\boldsymbol {\dot U}_b\\\boldsymbol {\dot U}_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \boldsymbol 0\\\boldsymbol 0\\\boldsymbol F_s\end{bmatrix} \]

分布参数电流

电报方程：

\[-\frac {\partial u}{\partial x}=R_0i+L_0\frac{\partial i}{\partial t}\\ -\frac {\partial i}{\partial x}=G_0u+C_0\frac{\partial u}{\partial t} \]

频域形式：

\[-\frac {\mathrm{d} \dot U}{\mathrm{d} x}=(R_0+j\omega L_0)\dot I=Z_0\dot I\\ -\frac {\mathrm{d} \dot I}{\mathrm{d} x}=(G_0+j\omega C_0)\dot U=Y_0\dot U\\ \gamma=\alpha+j\beta=\sqrt {Z_0Y_0}=\sqrt {(R_0+j\omega L_0)(G_0+j\omega C_0)}\\ Z_c=\sqrt{\frac {Z_0}{Y_0}}=\sqrt \frac{(R_0+j\omega L_0)}{(G_0+j\omega C_0)} \]

通解：

\[\dot U=A_1e^{-\gamma x}+B_1e^{\gamma x}\\ \dot I=\frac {A_1}{Z_C}e^{-\gamma x}-\frac {B_1}{Z_C}e^{\gamma x} \]

传输矩阵：

\[\boldsymbol T=\begin{bmatrix}\cosh \gamma l&Z_c\sinh \gamma l\\ Y_c\sinh \gamma l &\cosh \gamma l \end{bmatrix} \]

波的反射：

电报方程的频域通解形式中的两项分别是入射波分量和反射波分量

反射系数：\(N=\frac {Z_2-Z_C}{Z_2+Z_C}e^{-2\gamma x\prime }\) Z₂为终端阻抗，Z_c为传输线特性阻抗，x'为点到终端的距离，γ为传播常数

输入阻抗与反射系数的关系：\(N=\frac {Z-Z_c}{Z+Z_c}\) Z为输入阻抗

无畸变线

\(\frac {L_0}{R_0}=\frac {C_0}{G_0}\qquad \gamma=\sqrt{R_0G_0}+j\omega \sqrt{L_0C_0}\qquad Z_c=\sqrt{\frac{L_0}{C_0}}\)

无损耗线

是无畸变线的特例

\(R_0=0\quad G_0=0\qquad \gamma=j\omega \sqrt{L_0C_0}\qquad Z_C=\sqrt{\frac{L_0}{C_0}}\)

驻波：波腹、波节位置固定

有限长无损线：可以作为储能元件，可以作为阻抗变换器

高频传输线可以当作无损耗线

无损号线的反射：柏德生法则，将反射瞬间电路等效为集中参数电路

无损号线的折射：略