一个老坑的补 | Dilworth 定理

主要参考：浅谈Dilworth定理 - cmwqf。

「启」

想起来这个定理，是因为我在古远的时候（大约今年 \(3\) 月？）遇到了但是没有进一步了解，今天突然又看到导弹拦截这道题，于是就想把它进一步里了解一下。

「定理内容」

偏序集上最小链划分中链的数量等于其反链长度的最大值。

一看，偏序集，最小链划分，反链，都不会（

于是下面开始逐一理解 看 定 义（

「偏序集」

定义一种比较关系使得两种元素进行比较，比如我们定义 \(x \operatorname{Aqua} y\) 当且仅当 \(x,y\in Z\) 且 \(x \le y.\)

显然 \(x\) 和 \(y\) 都满足 \(\in Z\) 的时候她们两个是可比的，否则若有一个不满足，我们则称这两个元素不可比。

那么偏序集 \(S\) 就定义为满足以下性质的允许存在不可比元素的集合：

1. 自反性：\(\forall x \in S,x \le x;\)

2. 对称性：\(\forall x,y \in S,x \le y \Rightarrow y \ge x;\)

3. 传递性：\(\forall x,y,z \in S,x \le y,y \le z \Rightarrow x \le z.\)

「链划分」

若我们把满足 \(x,y \in S,x \le y\) 的 \(x,y\) 之间建立一条 \(x \to y\) 的边，那么显然的是偏序集是一张 DAG.

把 \(S\) 中的元素划分为若干条链，使得每个元素都在且仅在唯一的一条链中，叫做链划分。

「反链」

链是 DAG 上的某条路径上的元素，而反链和链的定义恰好相反，对于一个集合，它是反链当且仅当这个集合里的元素两两都是不可比的，即这个集合中的元素两两不连通。

也就是说，我们将一个偏序集 \(S\) 划分为若干个小集合，使得每个小集合里的元素构成一条链，这个最小的划分数量，等于这个偏序集最长的反链的长度。

然后就能利用这个来做一些看起来很难的题。

以下摘自我的杂题记录。

「例题」

• 洛谷 | P3974 组合数学 [TJOI2015] [省选+/NOI-]

好喵一题。

其实做这道题只是在看自己之前的博客的时候想起来之前有个 Dilworth 定理，然后就随着一个博客（浅谈Dilworth定理 - cmwqf）学习的时候，找到了这道题。

众所周知题目名字里有啥，这道题就不用啥做，所以这道题用不到组合数学（

我们把这道题中的每个点 \((i,j)\) 拆成 \(val(i,j)\) 个点，然后把能够到达的点之间连边，最后变成了一个 DAG，题目所求就是求这个图的最小链的划分，根据 Dilworth 定理，这个 DAG 的最小链划分就等于它的最长反链的长度。

按照我们建图的操作来说的话，这个反链就是说的最长的不能到达的链，也就是说要求每个点的右上和左下矩阵中点权值的最大值，于是直接 DP 即可。

for(int i(1);i<=n;++i)
    for(int j(m);j;--j)
    {
        f[i][j]=f[i-1][j+1]+a[i][j];
        f[i][j]=Hmax(Hmax(f[i][j],f[i-1][j]),f[i][j+1]);
    }

答案即为 f[n][1].