入门到入土 | 零点存在性定理基础
先说明一下，这是HD的笔记，都只是高中基础知识，没有扩展，仅适合完全没有看过这一部分知识的同学或者想要来复习
虐菜的whk大佬阅读。同时这里也推荐一个Bilibili的UP主一数，讲的确实很好
零点存在性定理
\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，且 \(f(a)\cdot f(b)<0\) ，则\(f(x)\)在区间\((a,b)\)上必存在零点
实际上这个定理中的那个等式就是告诉我们 \(f(a)\) 和\(f(b)\)异号，因为\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，所以在图像上这两点的连线必然穿过\(x\)轴，所以必有零点
但是，要注意到其实零点存在性定理只能判断存在性，但是不能够让我们得到有几个零点
拓展 | 一
在其他条件不变的前提下，我们把\(f(a) \cdot f(b)<0\)改为\(f(a) \cdot f(b) \le 0\)，那么\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上必存在零点
拓展 | 二
在其他条件不变的情况下，若\(f(x)\)在\([a,b]\)上单调且\(f(a) \cdot f(b) < 0\)，则\((a,b)\)上必然存在一个唯一零点
实际上这个画个图就能很好的理解，既然这个函数在这一段区间内单调，不管他是单调递增还是单调递减，\(f(a)\)和\(f(b)\)之间的连线都只可能穿过一次\(x\)轴
这里补充一点，零点是一个能使\(f(x)=0\)的\(x\)，而不是一个有序数对
例题 | 一
零点存在性定理的直接运用
Describe
已知\(f(x)=3ax-2a+1\)，在\([-1,1]\)上有零点，求\(a\)的取值范围
Solution
这个题实际上一眼分类讨论，但是由于我们不知\(a\)的取值范围，所以分类讨论会很麻烦
于是我们使用零点存在性定理来做
满足题意，只需要\(f(-1) \cdot f(1) \le 0\)即可，因为\(f(1)=a+1,f(-1)=1-5a\)
所以,
这是一个非常经典的二次不等式，解得:\(\{a | a \ge \frac{1}{5} 或 a \le -1 \}\)、
所以看到这种题直接就求端点的积是否小于零即可
例题 | 二
利用零点存在性定理估测零点的大小
Describe
已知三个函数\(f(x)=2^x+x,g(x)=x-2,h(x)=\log_2 x+x\)的零点依次为\(a,b,c\)，则\(a,b,c\)的关系是？
Solution
我们来逐个击破
f(x)
对于\(f(x)\)，因为\(y=2^x\)和\(y=x\)都是增函数，所以它也是增函数
这个时候代入\(x=0\)，发现\(f(0)=1 > 0\)，所以再代入\(x=-1\)，得到\(f(-1)=- \frac{1}{2}\)，所以我们可以确定\(-1 < a < 0\)
g(x)
对于\(g(x)\)，这是一个一次函数，显然具有单调性，且为增函数，于是我们可以轻松得出\(b=2\)
h(x)
对于\(h(x)\)，因为\(y=\log_2 x\)和\(y=x\)都是增函数，并且\(y=\log_2 x\)的定义域为\((0,+\infty)\)，所以\(h(x)\)也是增函数且定义域为\((0,+\infty)\)
我们代入\(x=1\)，得到\(h(1)=1 > 0\)，又因为\(h(x)\)的定义域，所以我们可以得到\(0 < c < 1\)
(当然这个地方也可以继续在0和1之间取值代入得到更小的范围，但是前面我们得到的a和b的范围都和这个没有交集，这范围就已经足够了)
比较
综上，\(-1 < a < 0,b=2,0 < c < 1\)，因此\(a < c < b\)
例题 | 三
稍微综合一点的运用，但也不是太难
Describe
已知函数\(f(x)=x^2 + \log_2 \left \vert x \right \vert - 4\)的零点$m \in (a,a+1),a \in Z \(，求所有满足这一条件的a的\)sum_a$
Solution
遇到这种题，先来分析这个函数，我下面稍微分的细一点，以便我以后复习使用
奇偶性
因为这里有真数带有一个绝对值，所以\(f(x)\)的定义域是 R
我们可以算出\(f(-x) = x^2+log_2 x - 4 = f(x)\)，所以这是一个偶函数
单调性
这个就很好判断了，在\((0,+\infty)\)单调递增，在\((-\infty,0)\)单调递减
Find a
有了上面的两个性质，我们就很好去找a了
因为这是偶函数，所以我们可以先分析一侧，再根据对称性求出另另一侧的a
代入\(x=1\)得\(f(x) = -3 < 0\)，代入\(x=2\)得\(f(x) = 1 > 0\)，所以我们可以得到\(f(x)\)在区间\((1,2)\)上有一个零点（因为是单调递增所以只有在这个区间内一个）
由对称性可得\(f(x)\)在区间\((-2,-1)\)上也有一个零点（可以根据下面的图片理解一下）
所以我们可以得到\(a_1=1,a_2=-2\)，故\(sum_a=a_1+a_2=-1\)
