入门到入土 | 简单一元导数
之前一直抱着懒的心理，看着机房的各位学导数
直到有一天某位给我说：不学导数，学什么信息
于是乎我就从选择性必修Ⅱ上瞎学了点简单的一元导数
定义
实际上我也不知道为什么这个导数的称谓这么麻烦，某点的导数是导数（废话），某个函数的导函数也可以简称为导数，两者相关但是又有差别，所以我就分开写吧（
定义Ⅰ
对于函数\(y=f(x)\)，设\(x\)从\(x_0\)变化到\(\Delta x+x_0\)（\(\Delta x\)是\(x\)的变化量），设\(y\)的变化量为\(\Delta y\)对于\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\),当\(\Delta x\to 0\)的时候，也就是\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)有极限时，就称\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)处可导，并把此值叫做\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)处的导数（或称瞬时变化率）。
记作\(f^\prime(x_0)\)或\(y^\prime|_{x=x_0}\)，有：
在这里稍微提一下，其实这就是\(f(x)\)图像上这一点的斜率
定义Ⅱ
前面说到的定义Ⅰ下面说到，实际上面那个极限就是求函数图像上某点的斜率，可见\(x=x_0\)时\(f^\prime(x_0)\)是一个唯一确定的数，那么我们可推得：\(\forall x \in R\)，都有一个唯一的\(f^\prime(x)\)与其对应，所以\(f^\prime(x)\)实际上是一个关于\(x\)的函数，我们把它称作\(y=f(x)\)的导函数（简称导数），即：
几何意义
前面实际上有提到几何意义，实际上就是图像的斜率
对于定义Ⅰ，导数是某函数上某点的对应图像的斜率
对于定义Ⅱ，导函数（导数）是某函数的图像的斜率的变化函数
下面用\(f(x)=x^3\)来简单的举一个例子
下面这个图就是\(f(x)=x^3\)的图像，我们选取\(x=2\)，求它的导数应为：
\(f^\prime(2)=3\times2^2=12\)
也就是说在(2,8)的切线（蓝线）的斜率是12：
而对于\(f(x)\)的导函数\(f^\prime(x)\)，通过计算得到是\(f^\prime(x)=3x^2\)，画出来是这样的（紫线）：
（实际上我刚才在算\(f^\prime(2)\)的时候就是把2带入这个导函数算的）
也就是说对于给定的\(x\)，我们可以直接求出这一点的导数，这和定义Ⅱ是相符合的
运算
引入
可以见到的是，对于前面所说到的求导数公式，若每次都往里面带入函数的话，在有些时候是很麻烦的，但是我们也在计算的时候可以找到一些规律，而先人们也为我们总结了公式
不过在看公式之前，先看几个例子体会一下规律
Q1:求\(f(x)=114514x\)的导数？
A1:带入公式可得：\(f^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{114514(x+\Delta x)-114514 x}{\Delta x}=114514\)
Q2：求\(g^\prime(x)=4x^2\)的导数？
A2：带入公式可得：\(g^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{4(x+\Delta x)^2-4x^2}{\Delta x}=\frac{4\Delta x^2+8x\cdot\Delta x}{\Delta x}=8x\)
Q3：求\(h^\prime(x)=1919810x^2+580214\)的导数？
A3：带入公式可得：\(h^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1919810(x+\Delta x)^2+580214-1919810x^2+580214}{\Delta x}=3839620x\)
我在刚学完定义，做前面的习题的时候，做着做着就发现了：
-
对于二次函数\(f(x)=ax^2+c\)的导数，好像就是\(f(x)=2ax\)
-
对于一次函数\(f(x)=ax+c\)的导数，好像就是\(f(x)=a\)
于是我带入了一般情况验证，果然如此
那么下面将引入基本的公式
基本公式
- \(f(x)=c \Rightarrow f^\prime(x)=1\)
- \(f(x)=x^\alpha(\alpha \in Q,\alpha \ne 0) \Rightarrow f^\prime(x)=\alpha x^{\alpha-1}\)
- 常用：
- \(x \Rightarrow 1\)
- \(x^2 \Rightarrow 2x\)
- \(x^3 \Rightarrow 3x^2\)
- \(x^{\frac{1}{2}} \Rightarrow \frac{1}{2\sqrt x}\)
- \(x^{-1} \Rightarrow \frac{1}{x^2}\)
- \(f(x)=\sin x \Rightarrow f^\prime(x)=\cos x\)
- \(f(x)=\cos x \Rightarrow f^\prime(x)=-\sin x\)
- \(f(x)=\alpha^x (\alpha>0,a\ne1)\Rightarrow f^\prime(x)=\alpha^x\ln\alpha\)
- Speacial：\(f(x)=e^x \Rightarrow f^\prime(x)=e^x\)
- \(f(x)=\log_\alpha x(\alpha>0,\alpha\ne 1)\Rightarrow \frac{1}{x\ln\alpha}\)
- Speacial：\(f(x)=\ln x \Rightarrow f^\prime(x)= \frac{1}{x}\)
（这可能使用尽了我的\(\LaTeX\)知识储备/kk）
基本四则运算
还是先举一个例子来引入一下：
这里给出一个函数，如何求导？
\(f(x)=2x^2+x+4\)
它的图象是这样的：
而我们带入公式可以得到它的导数是：
\(f^\prime(x)=4x+1\)
我们再来观察一下\(g(x)=2x^2\)，\(w(x)=x\)和\(p(x)=4\)的导数：
由刚才的公式易得，分别是\(g^\prime(x)=4x,w^\prime(x)=1,p^\prime(x)=0\)
而它们相加正是我们带入公式求得的
于是乎我们再进行一般化的煺导之后，可得：
对于\(f(x)=g(x)±w(x)\)，有：\(f^\prime(x)=g^\prime(x)±w^\prime(x)\)
然后因为我懒得煺了，下面就直接给出全部的基本四则运算的公式吧
加减上面已经给出，下面给出乘法和除法：
这就非常好记
这里简单一提简单复合函数的导数：
设\(y=f(x),u=g(x)\)，则有\(y^\prime_x=y^\prime_uu^\prime_x\)
导数在研究函数中的应用仙咕着，后面可能单开一个随笔说
上面这句话划掉，我来填坑了😂
应用 in 研究函数
单调性
前面有提到导数的几何意义和函数图像的斜率相关，导函数是整个函数的斜率变化趋势，而瞬间变化率则是某点的对应图像的导数
那么我们知道了斜率就可以判断函数的某段的单调性，即如下的一条龙服务：
确定\(f(x)\)的定义域\(\to\)找\(f^\prime(x)\)的零点\(\to\)用零点划分\(f(x)\to\)确定\(f(x)\)在每个区间内的单调性
同时，因为我们可以知道某点/某段的斜率或斜率变化趋势，所以我们就能根据两个函数的导数来比较两个函数在某个区域内的增长速度
极值&最值
最值我们很熟悉了，所以在这里只引入什么是极值
极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。(From 度娘)
需要注意的是，一个函数是可以有许多个极大值/极小值的，也就是说极值并不唯一
那么如何使用导数求极值呢？
可以看得到极值点的图像的斜率应为0，也就是说这一点的导数为0，并且两侧的导数斜率相反，那么这一点就是极值点
其中，左侧导数大于零，右侧导数小于零的极值点是极大值点，在此点可以取到极大值
反之，左侧导数小于零，右侧导数大于零的极值点是极小值点，在此点可以取到极小值
要注意的一点是：\(f^\prime(x)=0\)是此点为极值点的必要条件，而非充分条件，更不是充要条件
那么如何使用导数求最值呢？
最值和极值不同的点在于最大值/最小值只有一个，并且求一个区间\([a,b]\)的最值是能够取到区间的端点的，而极值不行
那么求最值有以下两步：
- 判断函数是否在区间内有最值：在给定区间上的图像为不间断曲线的函数必有最值
- 找出所有的极值，再和区间端点值进行比较，就可求得最值
End
算是把坑填上了，希望这篇文章能够给大佬们带来不一样的复习体验，给Mn Zn带来易懂的入门
