初见 | 数据结构 | ODT
Chtholly Tree 简记
「启」
-
关于为啥我要学这个？
- 闲的。
本篇中所有 Code 的缺省源使用 「V5.2」.
「关于 ODT」
-
ODT 用处？
- （大多数是）在有区间赋值操作的 DS 题里面骗分，因为好像专门为 ODT 设计的题不多吧？反正我只知道 CF896C.
-
时间复杂度？
-
ODT 的复杂度正确建立在数据随机上，这点一定牢记。
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对于所有的基础操作（如 \(Assign\) 和 \(Add\) 等），使用
set实现的 ODT 的复杂度为 \(O(n \log\log n)\)，而链表实现的复杂度为 \(O(n \log n)\)，不过我目前只会用set实现就是了（
-
-
注意事项？
-
ODT 的复杂度正确建立在数据随机上，ODT 的复杂度正确建立在数据随机上，ODT 的复杂度正确建立在数据随机上。不然的话出题人很容易构造数据让你 T 掉。
-
别被没有区间赋值的部分分卡了。
-
「实现」
先是核心思想：把值相同的区间合并成结点，存到 set 里面。
于是就有了以下的结构体来存结点：
「结点 Node」
struct Node
{
LL l,r;
mutable LL v;
Node(LL l,LL r=0,LL v=0) : l(l),r(r),v(v) {}
I bool operator < (const Node &co) const
{
Heriko l<co.l;
}
};
set<Node> s;
这里的
mutable是为了突破const的限制，便于我们后面直接修改set中的值，而不是拿出来改完再扔进去。
「分裂 Split」
\(Split\) 算是 ODT 中最重要的操作了，简单来说就是把区间 \([l,r]\) 分成 \([l,pos-1]\) 和 \([pos,r]\) 两段，便于我们操作。
实现也很简单，我们先用 set 自带的 lower_bound 确定 \(pos\) 对应位置，然后删除原区间分成两半插入。
I auto Split(LL pos)
{
auto it(s.lower_bound(Node(pos)));
if(it!=s.end() and it->l==pos)
Heriko it;
--it;
if(it->r<pos)
Heriko s.end();
LL l(it->l),r(it->r),v(it->v);
s.erase(it);
s.insert(Node(l,pos-1,v));
Heriko s.insert(Node(pos,r,v)).first;
}
这样的话所有的区间 \([l,r]\) 上的操作都可以转化为 \([Split(l),Split(r+1)].\)
「推平 Assign」
\(Assign\) 也是很重要操作，主要就是完成缩点的任务，实现起来也很简单，找到区间之后删除插入新的就行。
I void Assign(LL l,LL r,LL x)
{
auto itr(Split(r+1)),itl(Split(l));
s.erase(itl,itr);
s.insert(Node(l,r,x));
}
实际上最基本的操作也就上面这俩了，下面再扩展一点常用的操作。
「区间加 Add」
如何区间加呐？暴力。
嗯，没错就是暴力，找到对应区间之后暴力加就是了（
I void Add(LL l,LL r,LL x)
{
auto itr(Split(r+1)),itl(Split(l));
for(auto it(itl);it!=itr;++it)
it->v+=x;
}
「排名 Rank」
查询区间排名的话，我们先声明一个结构体或者 pair 便于对相同的数操作。
struct Rank
{
LL val,cnt;
Rank(LL val,LL cnt) : val(val),cnt(cnt) {}
I bool operator < (const Rank &co) const
{
Heriko val<co.val;
}
};
然后我们就用最好想的思路，先找到对应区间，然后把所有的数排序，直接去找要求排名即可。
I LL QueryRank(LL l,LL r,LL x)
{
auto itr(Split(r+1)),itl(Split(l));
vector<Rank> v;
for(auto it(itl);it!=itr;++it)
v.push_back(Rank(it->v,it->r-it->l+1));
sort(v.begin(),v.end());
LL i(0);
for(;i<(LL)v.size();++i)
if(v[i].cnt<x)
x-=v[i].cnt;
else
Heriko v[i].val;
Heriko v[i].val;
}
「其它 Other」
其实观察上面的也能发现在 ODT 上的操作，先找到对应区间之后就很好办了，所有大概的代码框架都是这个样子：
I auto Function(int l,int r,...)
{
auto itr(Split(r+1)),itl(Split(l));
...
}
然后知道了这些就可以去把 CF896C 干掉了。
「CF896C Code」
CI MXX(1e5+1),MOD(1e9+7);
LL n,m,seed,vmax,a[MXX];
I LL GetData()
{
LL res(seed);
seed=(seed*7+13)%MOD;
Heriko res;
}
I LL FstPow(LL x,LL y,LL p)
{
LL res(1);
x%=p;
while(y)
{
if(y&1)
(res*=x)%=p;
(x*=x)%=p;
y>>=1;
}
Heriko res;
}
struct Node
{
LL l,r;
mutable LL v;
Node(LL l,LL r=0,LL v=0) : l(l),r(r),v(v) {}
I bool operator < (const Node &co) const
{
Heriko l<co.l;
}
};
set<Node> s;
I auto Split(LL pos)
{
auto it(s.lower_bound(Node(pos)));
if(it!=s.end() and it->l==pos)
Heriko it;
--it;
if(it->r<pos)
Heriko s.end();
LL l(it->l),r(it->r),v(it->v);
s.erase(it);
s.insert(Node(l,pos-1,v));
Heriko s.insert(Node(pos,r,v)).first;
}
I void Assign(LL l,LL r,LL x)
{
auto itr(Split(r+1)),itl(Split(l));
s.erase(itl,itr);
s.insert(Node(l,r,x));
}
I void Add(LL l,LL r,LL x)
{
auto itr(Split(r+1)),itl(Split(l));
for(auto it(itl);it!=itr;++it)
it->v+=x;
}
struct Rank
{
LL val,cnt;
Rank(LL val,LL cnt) : val(val),cnt(cnt) {}
I bool operator < (const Rank &co) const
{
Heriko val<co.val;
}
};
I LL QueryRank(LL l,LL r,LL x)
{
auto itr(Split(r+1)),itl(Split(l));
vector<Rank> v;
for(auto it(itl);it!=itr;++it)
v.push_back(Rank(it->v,it->r-it->l+1));
sort(v.begin(),v.end());
LL i(0);
for(;i<(LL)v.size();++i)
if(v[i].cnt<x)
x-=v[i].cnt;
else
Heriko v[i].val;
Heriko v[i].val;
}
I LL QueryVal(LL l,LL r,LL x,LL y)
{
auto itr(Split(r+1)),itl(Split(l));
LL res(0);
for(auto it(itl);it!=itr;++it)
res=(res+FstPow(it->v,x,y)*(it->r-it->l+1)%y)%y;
Heriko res;
}
S main()
{
Files();
fr(n),fr(m),fr(seed),fr(vmax);
for(int i(1);i<=n;++i)
a[i]=(GetData()%vmax)+1,s.insert(Node(i,i,a[i]));
while(m--)
{
LL opt((GetData()%4)+1),l((GetData()%n)+1),r((GetData()%n)+1),x,y;
if(l>r)
swap(l,r);
if(opt==3)
x=(GetData()%(r-l+1))+1;
else
x=(GetData()%vmax)+1;
if(opt==4)
y=(GetData()%vmax)+1;
if(opt==1)
Add(l,r,x);
else if(opt==2)
Assign(l,r,x);
else if(opt==3)
fw(QueryRank(l,r,x),1);
else
fw(QueryVal(l,r,x,y),1);
}
Heriko Deltana;
}
「其它例题」
调了三天 CF896C 最后发现是快速幂少了 x%=p 之后就做了一点简单 ODT 板子题。
「HAOI2014 贴海报」
这个题巨大显然了吧，贼板子吧。
只需要区间推平，最后开个桶记录一下就行了，直接切了对吧。
CI MXX(1001);
struct Node
{
int l,r;
mutable int val;
Node(int l,int r=0,int val=0) : l(l),r(r),val(val) {}
I bool operator < (const Node &co) const
{
Heriko l<co.l;
}
};
set<Node> s;
I auto Split(int pos)
{
auto it(s.lower_bound(Node(pos)));
if(it!=s.end() and it->l==pos)
Heriko it;
--it;
if(it->r<pos)
Heriko s.end();
int l(it->l),r(it->r),v(it->val);
s.erase(it);
s.insert(Node(l,pos-1,v));
Heriko s.insert(Node(pos,r,v)).first;
}
I void Assign(int l,int r,int v)
{
auto itr(Split(r+1)),itl(Split(l));
s.erase(itl,itr);
s.insert(Node(l,r,v));
}
int n,m,x,y,tot,ans(-1);
bitset<MXX> vis;
S main()
{
Files();
fr(n),fr(m);
s.insert(Node(1,n+1));
while(m--)
fr(x),fr(y),Assign(x,y,++tot);
for(auto it(s.begin());it!=s.end();++it)
if(!vis[it->val])
++ans,vis[it->val]=1;
fw(ans,1);
Heriko Deltana;
}
「CF343D Water Tree」
这个题是个树上问题，比较板的树剖（
不过我们不写线段树，我们直接上 ODT，在两边 DFS 处理出来 id 序之后按照普通的序列操作即可。
第二个操作就需要我们在 DFS 的时候记录一下 top，修改的时候不断跳 top 进行 \(Assign\) 即可。
CI MXX(5e5+5);
struct ODT
{
int l,r;
mutable int v;
ODT(int l,int r=0,int v=0) : l(l),r(r),v(v) {}
I bool operator < (const ODT &co) const
{
Heriko l<co.l;
}
};
set<ODT> s;
I auto Split(int pos)
{
auto it(s.lower_bound(ODT(pos)));
if(it!=s.end() and it->l==pos)
Heriko it;
--it;
if(it->r<pos)
Heriko s.end();
int l(it->l),r(it->r),val(it->v);
s.erase(it);
s.insert(ODT(l,pos-1,val));
Heriko s.insert(ODT(pos,r,val)).first;
}
I void Assign(int l,int r,int x)
{
auto itr(Split(r+1)),itl(Split(l));
s.erase(itl,itr);
s.insert(ODT(l,r,x));
}
struct Node
{
int nex,to;
}
r[MXX<<1];
int rcnt,head[MXX];
I void Add(int x,int y)
{
r[++rcnt]=(Node){head[x],y},head[x]=rcnt;
r[++rcnt]=(Node){head[y],x},head[y]=rcnt;
}
int n,m,sz[MXX],dep[MXX],id[MXX],top[MXX],fa[MXX],son[MXX],tot;
void DFS1(int x,int fath)
{
sz[x]=1,fa[x]=fath,dep[x]=dep[fath]+1;
for(int i(head[x]);i;i=r[i].nex)
{
int y(r[i].to);
if(y==fath)
continue;
DFS1(y,x);
sz[x]+=sz[y];
if(sz[y]>sz[son[x]])
son[x]=y;
}
}
void DFS2(int x,int tp)
{
top[x]=tp,id[x]=++tot;
if(son[x])
DFS2(son[x],tp);
for(int i(head[x]);i;i=r[i].nex)
{
int y(r[i].to);
if(y==fa[x] or y==son[x])
continue;
DFS2(y,y);
}
}
I void ModifyZero(int x)
{
int tp(top[x]);
while(tp!=1)
{
Assign(id[tp],id[x],0);
x=fa[tp],tp=top[x];
}
Assign(id[1],id[x],0);
}
S main()
{
Files();
fr(n);
for(int i(1);i<n;++i)
{
int x,y;
fr(x),fr(y);
Add(x,y);
}
DFS1(1,0);
DFS2(1,1);
s.insert(ODT(0,MXX));
fr(m);
while(m--)
{
int opt,x;
fr(opt),fr(x);
if(opt==1)
Assign(id[x],id[x]+sz[x]-1,1);
else if(opt==2)
ModifyZero(x);
else
fw(Split(id[x])->v,1);
}
Heriko Deltana;
}
「终」
那么就写这些吧。
Do you like WHAT YOU SEE ?
