初见 | 图论 | Tarjan

「启」

之前一直没空写,NOIP 考前重新学了一下,虽然考场上完全没用到就是了。

这篇可能晚一点同步到 github,因为 WTG 上没有把 Hexo 配置好。

大概按照 OI-Wiki 来简单写一点。

「Pre」

首先是一些前置知识。

「强连通分量」

在有向图 \(G\) 中强连通是指 \(G\) 中的任意两个节点联通,强连通分量则是极大的强连通子图。

强连通分量的英文是 Strongly Connected Components,简称 SCC.

「DFS 搜索树」

image.png

除了普通的树边之外,DFS 搜索树中还有可能出现以下三种类型的边:

  1. 回边(红),即指向祖先结点的边。

  2. 横叉边(蓝),即边的另一端是一个已经遍历过,但不是当前结点祖先的点。

  3. 前向边(绿),搜索时遇到一个子树中的结点生成的。

那么在这颗搜索树中求 SCC,有以下的性质:

设结点 \(x\) 为某个 SCC 在搜索树中遇到的第一个结点,那么这个 SCC 的剩余结点一定是搜索树中以 \(x\) 为根的子树中。

可以反证证明:设有一个结点 \(y\) 在当前 SCC 中但是不在搜索树中以 \(x\) 为根的子树中,那么 \(x\)\(y\) 的路径上一定有一条离开子树的边,即存在一条横叉边或者回边,然而根据定义发现两条边要求指向的结点是被访问过的,这和 \(x\) 的定义矛盾,得证。

「Tarjan」

Tarjan 主要是为每个结点 \(x\) 维护了两个变量:dfn[x]low[x].

前者表示在 DFS 时 \(x\) 被遍历到的次序,后者表示 \(x\) 能回溯到的 dfn 最小的栈中的结点。显然的是后者可以用未访问过的子树中的结点 \(y\)low[y] 来更新,否则用 dfn[y] 更新。

「Code」

之前的模板库里放了个栈用 vector 的,这里再放一个手写栈的,缺省源使用 「V5.2」.

template <typename J>
I J Hmin(const J &x,const J &y)
{
    Heriko x<y?x:y;
}

CI MXX(5e4+1),NXX(1e4+1);

int n,m;

struct Node
{
    int nex,to;
}

r[MXX];

int rcnt,head[NXX];

I void Add(int x,int y)
{
    r[++rcnt]=(Node){head[x],y};
    head[x]=rcnt;
}

int dfn[NXX],low[NXX],dfsid,stak[NXX],top,sz[NXX],scc[NXX],scctot;

bitset<NXX> instak;

void Tarjan(int x)
{
    low[x]=dfn[x]=++dfsid;
    stak[++top]=x,instak[x]=1;

    for(int i(head[x]);i;i=r[i].nex)
    {
        int y(r[i].to);

        if(!dfn[y])
        {
            Tarjan(y);
            low[x]=Hmin(low[x],low[y]);
        }
        else if(instak[y])
            low[x]=Hmin(low[x],dfn[y]);
    }

    if(dfn[x]==low[x])
    {
        ++scctot;

        while(stak[top]!=x)
        {
            scc[stak[top]]=scctot;
            ++sz[scctot];
            instak[stak[top]]=0;
            --top;
        }

        scc[stak[top]]=scctot;
        ++sz[scctot];
        instak[stak[top]]=0;
        --top;
    }
}

「终」

不知道啥时候写游记(

posted @ 2021-11-28 16:24  HerikoDeltana  阅读(43)  评论(0编辑  收藏  举报