某游记 | Day 01

组合数学

• 全排列：

\[A_{n}^{n}=n! \]

• 排列：

\[A_{n}^{m}=\dfrac{n!}{(n-m)!} \]

• 组合：

\[C_{n}^{m}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!} \]

• 可重全排列：

  将 \(n=\sum e_i\) 个物品，其中相同的第 \(i\) 种物品有 \(e_i\) 的方案数为 \(S=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}\)

性质：

• \(C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}\)

• \(C_{n}^{m}=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m}\)

• \(\sum_{i=m}^nC^m_i=C_{n+1}^{m+1}\)

• \(\sum_{i=0}^nC_n^i=2^n\)

• \(\sum_{i=0}^n(-1)^iC^i_n=[n=0]\)

第二个柿子按照定义展开再提取公因式即可证明。

二项式定理

• \((a+b)^n=\sum_{i=0}^na^i\cdot b^{n-i}C^i_n\)

例题

求

\[x_1+x_2+\cdots+x_k=n \]

解个数。

相当于在 \(n\) 个球的序列中插入 \(k-1\) 个隔板，即为插板法。即为 \(n+k-1\) 长的序列中插入 \(k-1\) 个隔板：\(C_{n+k-1}^{k-1}\)

矩阵乘法

\[C_{i,j}=\sum_{k=1}^{m}A_{i,k}\times B_{k,j} \]

数论

• 算术基本定理：

\[N=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k} \]

• 线性筛.

• 根据高斯素数定理，\([2,n]\) 之内的素数个数约为 \(\dfrac{n}{\ln n}\) 个。

• GCD & LCM

我说上着上着课如此熟悉，原来是 SDSC D3 一样的课件（

• 同余

• 费马小定理

扩展欧拉定理

这个实际上之前好像听过，但是觉得还是应当写一下（？）

我们知道欧拉定理 \(a^{\varphi(m)}\equiv1\pmod m\) 的前提是 \(a,m\) 互质，而扩展欧拉定理则是针对的是不互质的情况。

• 若 \(c<\varphi(m)\)，则 \(a^c\equiv a^c\pmod m\).

• 若 $$，则 \(a^c\equiv a^{[c\bmod \varphi(m)]+\varphi(m)}\pmod m\).

Test 算是完全崩盘了（