QBXT游记 | Day3 Test & Day4

因为这里的内容比较混杂，所以先放个目录

目录

• Day3 Test
  • T1
  • T2
  • T3
  • T4
• Day4
  • 随机试验
    • 要求
    • 栗子 One
    • 概念
    • 事件运算
      • 包含
      • 相等
      • 互斥
      • 补集
      • 加法（和）
      • 减法（差）
      • 乘积
      • 运算律
  • 概率
    • 性质
    • 条件概率
  • 期望
    • 栗子 Two
      • Describe
    • 贝叶斯公式
  • 独立事件

Day3 Test

仍然是被小学时完虐了，这些笔记是比较草的，绝大部分都没有使用\(\LaTeX\)

T1

实际上这个题没必要高精度

首先把x当作字符串读进来，然后算出长度，然后用ans作为答案

然后：

for(R LL i=1;i<=len;i++) ans=(ans*10+x[i]-'0')%y;
fw(ans);

T2

用f[i]代表把3*i的地点铺满的方案数

i=1时，只能放1x1的，每个都能染m种颜色，故为m³

i=2时，2m³+m⁶

f[i]=m³f[i-1]+2m³f[i-2]

实际上就是每次考虑最后一列：是去填充三个1x1的还是让后两行填2x2的

使用矩阵快速幂优化，结构体搞一个矩阵，然后进行优化

T3

很明显如果想拿正解的话不能把C(n,m)拿出来

利用费马小定理：x^p 同余 x¹ (mod p)

所以 x^y 同余 x^y%(p-1)(mod p)

算出C(n,m) % (p-1)=?就能知道指数

p-1=100003470=2x3x5x53x677x929

然后用卢卡斯定理去算一算，最后Crt合并

T4

a0=(x,y)

a1=(x,y+1)

a2=(x,y+2)

...

a n-1=(x,y+n-1)

x=lcm(a0,a1,a2,a3,...,a n-1)

y % a0 = 0

(y+1) % a1=1

y % a1 =-1

y % a1 =a1-1

y+2 % a2 =0

y % a2 =a2-2

...

y % a n-1=a n-1

Day4

随机试验

要求

1. 不能预先确定结果

2. 实验之前可以预测所有可能结果或范围

3. 可以在相同条件下重复实验

栗子 One

扔骰子🎲，投针实验(づ￣ 3￣)づ

概念

1. 样本空间：随机试验所有可能结果组成的集合
2. 离散样本空间：有限个选择的结果
3. 无穷样本空间：顾名思义，无限个选择都结果
4. 事件发生：在一次实验中......
5. 必然事件：在扔骰子中，1 2 3 4 5 6，也就是说是样本空间全集
6. 不可能事件：不会发生的事件，对应一个空集

事件运算

事件集合的运算和集合的运算大致相同

包含

和集合中的子集差不多

相等

两个事件的集合完全相同

互斥

对于两个集合没有任何交集

补集

和集合的补集运算一致，同样，需要定义一个全集

加法（和）

和集合中的将两个集合合并一样

减法（差）

如A={1，2，3}，B={3，4，5}

那么A-B={1，2}

乘积

求2个集合的交集

运算律

• 交换律：A并B=B并A，A交B=B交A
• 结合律：A并（B并C）=（A并B）并C，交集同理
• 分配律：不再写了，和上面的差不多
• 对偶律：取（A交B）的补集=A的补集 并 B的补集，反之亦然

概率

定义参见Oi Wiki

事件A的概率称为P[A]

性质

• \(\sum P[A]=1\)
• 事件之间没有交集，则概率可以相加
• P(空集)=0
• 若A1,A2,A3...,An互不相交，则P（A1∪A2∪A3...∪An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)
• 如果A是B的子集，那么P(B-A)=P(B)-P(A)。对于一般的A和B，P(B-A)=P(B)-P(AB)
• 对于所有A，满足0<=P(A)<=P(1)
• P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

条件概率

当一件事情已经发生的时候，另一件事情发生的概率

即\(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\)

乘法法则：\(P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)\)

期望

根据每一种情况的概率来求每一种情况的权值，然后把权值求和

如当投骰子的时候，求扔出来数的期望，这里的每一个数的权值就是这个数

栗子 Two

扔两次骰子x1和x2，求第一次扔出来的数和第二个扔出来的数的和的期望\(E[x1+x2]\)

可以发现有36种情况，如果按照定义，应当把每一种情况的概率×权值然后在求和

但是这里引入一个比较重要的性质：期望的和=和的期望

所以\(E[x1,x2]=E[x1]+E[x2]\)

如果是多个的话，前面是6ⁿ的复杂度，后者则是6n

Describe

箱子里有3个1和1个2，每次取一个数不放回

贝叶斯公式

\(P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum\limits_{j=1}^n P(B_j)P(A|B_j)}\)

当左边不能求的时候，可以把条件概率反转一下啊用右面求

独立事件

对于独立的A,B,P(B|A)=P(B)