QBXT游记 | Day2 Afternoon

数论函数相关

首先是说了欧拉筛（线性筛）

先贴钟长者的Code

1~n 所有质数找出来

not_prime[i] 代表 i 有没有被筛过 

for (int a=2;a<=n;a++)
{
	if (not_prime[a] == false) plist[++pcnt] = a;
	for (int b=1;b<=pcnt;b++)
	{
		int x = a * plist[b];
		if (x>n) break;
		not_prime[x] = true;
		if (a % plist[b] == 0) break;
	}
}
 

其实我在很久之前是整理过怎么写欧拉筛的，不过那个时候memset直接全部赋值true会炸，所以现在在这里放上我新的写法

当然，在写之前我先说一些有关数论函数的事情

一些性质

首先对于数论函数\(f(n)\)，这个n一定是正整数，也就是说\(n\in Z^*\)

欧拉函数和莫比乌斯函数就是很经典的积性函数

这里推荐一篇博文，然后下面的代码就是利用欧拉筛求欧拉函数phi和莫比乌斯函数的Code

#include <bits/stdc++.h>
#define Heriko return
#define Deltana 0
#define S signed
#define U unsigned
#define LL long long
#define R register
#define I inline
#define D double
#define LD long double
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define ON std::ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
I void fr(LL &x)
{
	LL f=1;char c=getchar();
	x=0;
	while(c<'0'||c>'9')
	{
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9')
	{
		x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
		c=getchar();
	}
	x*=f;
}
bool np[1000000];
LL prime[1000000],tot,phi[100000],mu[100000];//phi是欧拉函数，mu是莫比乌斯函数，这俩都是积性函数 
I void EP(LL x)
{
	mst(np,false);tot=0;
	for(R LL i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!np[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1,mu[i]=-1;
		for(R LL j=1;j<=tot && i*prime[j]<=x;j++)
		{
			LL t=i*prime[j];
			np[t]=true;
			if(t==0)
			{
				phi[t]=phi[i]*prime[j];
				mu[t]=0;
				break;
			}
			else phi[t]=phi[i]*phi[prime[j]],mu[t]=mu[i]*mu[prime[j]];  
		} 
	}
}
S main()
{
	
	Heriko Deltana;
}

再往下就是一些组合数的知识，今天先咕了

我来填坑了😂

组合数学相关

首先我们需要知道什么是组合数，这个定义相信大家都知道了，我这里就简单一提：

从n个不同元素中，任取m(m<=n)个元素组成一个集合，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m<=n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号\(C_{n}^m\)来表示。

组合数及其相关性质

屑zhx打错字了

性质很多，简单说一下有一些是怎么煺的

第二个实际上就是组合数的递推公式，这是杨辉三角的表达，我们可以利用这个柿子在\(O(n^2)\)的复杂度下预处理我们所需的组合数

第三个就是按照第二个柿子不断地把\(C(n-1,m)\)拆开就能得到