学习笔记（11）SAM

一点（口胡）概念

· \(endpos\)：一个后缀在原串中出现位置的集合，介于 \(SAM\) 的性质，两个状态的 \(endpos\) 要么不交要么有包含关系

· 节点：表示一个状态，即 \(endpos\) 相同的等价类所表示的所有子串

· 边：也称作转移，上面有字符。类似于 \(Trie\) 树，连接添加一个字符后的前后两种状态

· \(link\)/\(fail\) 边：连接一个状态的后缀（实际上是父亲），作用基本等价于失配边

· \(parent\) 树：等同反串的后缀树，注意 \(SAM\) 的转移并不在其上进行

\(SAM\) 仅存在一个初始状态，而存在多个终止状态。\(SAN\) 是一种 \(DFA\)，其状态数、转移数分别可证不超过 \(2n - 1\) 与 \(3n - 4\)，同时复杂度保证为线性

建树过程（增量法构造）

顺序依次添加每个字符，讨论新加入的状态与已有状态的联系——

记录 \(c\) 为加入的第 \(i\) 个字符，\(last\) 为旧串（已经插入的 \(s[1,i-1]\)）对应的节点编号，\(len\) 为每一个等价类中最长的后缀的长度

首先新建一个节点 \(cur\) 表示新产生的子串 \(s[1,i]\)，其 \(endpos\) 应该只包含 \(i\)，并且有 \(len[cur] = len[last] + 1\)

然后考虑遍历原串的后缀找到所有可以通过加上字符 \(c\) 得到 \(cur\) 的子串，修改他们的 \(endpos\)

如果直到根也没有符合的后缀，说明所有新串后缀都已并入 \(cur\)，则 \(fail[cur] = 1\)

否则对 \(v=son[u][c]\) 进行分讨，保证 \(fail\) 指向后缀：

· 1.若 \(len[v] == len[u] + 1\)，则 \(v\) 中子串均为新串的后缀，直接连上 \(v\)

· 2.否则需要将 \(v\) 进行分割，建立新点 \(nu\) 存储满足 \(len[v] \leq len[u] + 1\) 的部分的子串，原 \(v\) 点中只保留剩下的部分。\(nu\) 的 \(fail\) 与 \(son\) 与 \(v\) 相同，继续跳 \(fail\) 更新 \(son[u][c] == v\) 的点为 \(nu\)

最后将 \(last\) 更新为 \(cur\)，\(fail[cur] = fail[v] = nu\)

建树部分完整代码如下：

struct SAM{
	int tot = 1, last = 1;
	int son[N][S], fail[N], len[N], siz[N];//可以用siz维护endpos的大小，拓扑时向fail加上siz即可
	void insert(int c){
		int cur = ++tot, u = last;
		len[cur] = len[last] + 1;//新建节点
		while(u && !son[u][c]){//寻找后缀
			son[u][c] = cur;
			u = fail[u];
		}
		if(!u) fail[cur] = 1;
		else{
			int v = son[u][c];
			if(len[v] == len[u] + 1) fail[cur] = v;
			else{//分割子串为两部分
				int nu = ++tot;
				len[nu] = len[u] + 1, fail[nu] = fail[v];
				for(int i = 0; i < S; i++) son[nu][i] = son[v][i];//继承原点
				while(u && son[u][c] == v){
					son[u][c] = nu;
					u = fail[u];
				}
				fail[cur] = fail[v] = nu;
			}
		}
		last = cur;//更新last
	}
	void solve(){
		\\...
	}
}DFA;

性质

· \(SAM\) 上维护了所有子串，其中节点 \(u\) 包含长度为 \([len[fail[u]] + 1,len[u]]\) 的子串

· 通过跳 \(fail\) 访问 \(parent\) 树上的父亲可以得到该串的所有后缀（若节点 \(A\) 为 \(B\) 的祖先，则节点 \(A\) 对应子串一定为节点 \(B\) 对应子串的后缀）

· 每个节点的 \(endpos\) 等于其子树内所有终点节点的 \(endpos\) 的并集

……（还有很多等做题时接触到再补充）

应用

\((Updating \dots)\)