NOI春季测试前模拟赛题解

T312819 命题工作

直接容斥。

总方案 - 一题出现四次 - 一题出现三次 - 一题出现两次。

一题出现两次的情况略有不同，注意考虑周全。

复杂度 $O(n)$。

code

T312891 图上棋局

有技巧的博弈论。

如果当前点的所有出边均为先手必胜，那么当前点为先手必败。

否则先手必胜。

于是我们可以建一个反向图，初始状态都设为 $0$，跑拓扑排序即可。

为什么不用记忆化呢？因为环的情况不好处理，而且卡时间。

复杂度 $O(q(n+m))$。

code

T312903 点对

简单构造题。

假设有一个包含 $n$ 个节点的简单环，那么符合要求的点对为 $\frac{n(n-1)}{2}$。

所以我们考虑构造出一些环，相邻的环连一条边，容易证明一定能凑出 $k$。

复杂度 $O(1)$。

code

T312907 虫

简单树形 DP。

对于当前点 $u$，找到其所有儿子 $v$ 中最大和次大的链，拼在一起。

注意当前点为根和只有一个儿子的情况。

复杂度 $O(n)$。

code

T312820 信号干扰仪

每次找到距离最近的一对圆，加上他们相交的时间并删除。

反复操作直到没有圆。

复杂度 $O(n^3)$。

code

P1039 [NOIP2003 提高组] 侦探推理

大模拟。

枚举罪犯和日期，判断有多少人说谎。

复杂度 $O(mp)$。

code

T310430 树

F1：树上差分。

把路径上的边 $+1$，覆盖 $0$ 次、$1$ 次、多次的情况分别讨论。

复杂度 $O(n\log n)$。

code

F2：类似 DP。

考虑每一条边覆盖几次，实际上只有三种情况。

所以对于当前节点 $u$，我们考虑有几条路径跨越了 $u$ 到 $fa$ 的边。

仔细一想，我们发现可以从子树转移。

首先我们将树分为三个部分。

每个点维护起点在红色区域，终点在绿色区域且 dfs 序最小和次小的路径。

再维护起点在红色区域，终点在蓝色区域且 dfs 序最大和次大的路径。

这样就可以由子树传递上来，然后处理一下只保留四条特殊路径即可。

复杂度 $O(n)$。

code

P2593 [ZJOI2006]超级麻将

T225798 电阻电路

P7073 [CSP-J2020] 表达式

P3230 [HNOI2013] 比赛

T312843 排列

T313447 最小公倍数

T312821 花圃

T313449 珍珠项链

T313460 批改作业

T312916 连续子段和

T313666 平衡序列

T312914 编辑

T313555 拼板游戏

T315265 评测机

二分答案。

check 的时候用队列记录评测任务，然后从左到右贪心地评测即可。

如果超过时间 $D$，或者最后队列不为空，返回 false。

复杂度 $O(n\log n)$。

code

T315262 赛场

F1：决策单调性+分治优化 DP。

首先可以断环为链。

枚举起点 $l$，定义 $f_{i,j}$ 表示在 $[l,i]$ 中开 $j$ 扇门的最小代价。

然后就有了单次操作 $O(n^2m)$ 的 DP，即：

$$f_{i,j}=\min_{k=l}^{i}(f_{k-1,j-1}+sum_{k,i})$$

其中 $sum_{i,j}=\sum\limits_{t=i}^{j}a_t\cdot (t-i)$，可以预处理。

观察发现，如果 $f_{i,j}$ 的最后一扇门在 $w$，那么对于所有 $k<j$，$f_{k,j}$ 的最后一扇门在 $w$ 左侧，反之同理。

于是可以枚举 $l$ 和 $j$，对于 $f_{l,j}$ 到 $f_{l+n-1,j}$ 分治处理。

具体可以定义 $dfs(x,l,r,L,R)$ 表示当前有 $x$ 扇门，$f$ 第一维范围为 $[l,r]$，决策范围为 $[L,R]$。每次计算出 $mid=\frac{l+r}{2}$，暴力算出 $f_{mid,x}$ 的最优决策点 $w$，然后递归 $dfs(x,l,mid-1,L,w)$ 和 $dfs(x,mid+1,r,w,R)$。

复杂度 $O(mn^2\log n)$。

code

F2：斜率优化DP。

待更。

T315264 公交线路

容易想到一条路径的两个端点必定为这棵无根树的叶子节点。

我们考虑 “剥洋葱”，每次找到最外层的叶子节点，答案加上 $\min(cnt,2\cdot m)$，其中 $cnt$ 为叶子节点的个数。

然后拓扑排序去掉最外层，直到把整棵树都去除。

至于证明，仔细想想就明白了。

复杂度 $O(n)$。

code

T315263 训练基地

考虑 $40pts$ 的暴力。

以 $x$ 为关键字从小到大排序，对于当前节点 $u$，找到前面所有纵坐标小于 $u$ 的纵坐标的点集的最长下降序列，直接从后往前找即可。

考虑分治优化。

假设当前区间为 $[l,r]$，计算出 $mid=\frac{l+r}{2}$，递归处理 $[l,mid]$ 和 $[mid+1,r]$。

然后将 $[l,r]$ 以纵坐标为关键字从小到大排序。

左边维护一个数组 $vec_1$ 记录下降序列，右边维护一个数组 $vec_2$ 记录上升序列。（本质上就是单调栈）

找到 $vec_2$ 中倒数第二个元素的纵坐标 $y$，并在 $vec_1$ 中二分，找到有多少个点的纵坐标大于 $y$ 即可。

复杂度 $O(n\log^2n)$。

code