题解 P3345 [ZJOI2015] 幻想乡战略游戏

点分树。

本题的核心问题在于不好直接确定补给站的位置。

但是仔细思考后我们发现，对于当前节点，如果存在一个儿子的答案比它优，那么补给站一定在那个儿子的子树中。

增量为 $w\times(sum_u-2\cdot sum_v)$。当 $v$ 优于 $u$ 时，$2\cdot sum_v>sum_u$。如果 $v_2$ 也满足，则 $sum_v+sum_{v2}>sum_u$，不符合条件，所以一定唯一。

又发现这棵树上的点的度数都不超过 $20$，所以可以暴力递归，暴力跳，暴力算。复杂度 $O(20n\log^2n)$。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
int n,q,tot,rt,siz[N],f[N],fa[N],pre[N],vis[N];
struct node{int v,w;node(int v=0,int w=0):v(v),w(w){}};
vector<node>adj[N];
vector<int>vec[N];
unordered_map<int,ll>dis[N];
void getg(int u,int lst){
  siz[u]=1;f[u]=0;
  for(int i=0;i<adj[u].size();++i){
    int v=adj[u][i].v;if(v==lst||vis[v])continue;
    getg(v,u);siz[u]+=siz[v];f[u]=max(f[u],siz[v]);
  }
  f[u]=max(f[u],tot-siz[u]);
  if(f[u]<f[rt])rt=u;
}
void cal(int u,int lst,int tt){
  for(int i=0;i<adj[u].size();++i){
    int v=adj[u][i].v,w=adj[u][i].w;if(v==lst||vis[v])continue;
    dis[tt][v]=dis[tt][u]+w;cal(v,u,tt);
  }
}
int build(int u,int s){
  rt=0;tot=s;dis[u][u]=0;getg(u,0);
  int g=rt;vis[g]=1;dis[g][g]=0;cal(g,0,g);
  for(int i=0;i<adj[g].size();++i){
    int v=adj[g][i].v;if(vis[v])continue;
    int tmp=build(v,s-f[v]);
    vec[g].push_back(tmp);fa[tmp]=g;pre[tmp]=v;
  }
  return g;
}
ll d[N],s1[N],s2[N];
void update(int u,int c){
  for(int i=u;i;i=fa[i]){
    d[i]+=c;
    s1[i]+=c*dis[i][u];
    if(fa[i])s2[i]+=c*dis[fa[i]][u];
  }
}
ll get(int u){
  ll res=s1[u];
  for(int i=u;fa[i];i=fa[i])res+=s1[fa[i]]-s2[i]+dis[fa[i]][u]*(d[fa[i]]-d[i]);
  return res;
}
ll query(int u){
  ll res=get(u);
  for(int i=0;i<vec[u].size();++i){
    int v=vec[u][i];
    if(get(pre[v])<res)return query(v);
  }
  return res;
}
int main(){
  ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
  cin>>n>>q;
  for(int i=1;i<n;++i){
    int u,v,w;cin>>u>>v>>w;
    adj[u].push_back(node(v,w));adj[v].push_back(node(u,w));
  }
  f[0]=1e9;
  rt=build(1,n);
  while(q--){
    int u,c;cin>>u>>c;
    update(u,c);
    cout<<query(rt)<<endl;
  }
  return 0;
}